Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. (4-е изд. — Осторожно! В этом издании немало опечаток!)	МЦНМО, 2002


Глава 11 \|	Оглавление \|	Глава 11. § 2

§ 1. Треугольник

11.1.: Докажите, что среди всех треугольников с фиксированным углом a и площадью S наименьшую длину стороны BC имеет равнобедренный треугольник с основанием BC.

11.2.: Докажите, что среди всех треугольников ABC с фиксированным углом a и полупериметром p наибольшую площадь имеет равнобедренный треугольник с основанием BC.

11.3.: Докажите, что среди всех треугольников с фиксированным полупериметром p наибольшую площадь имеет правильный треугольник.

11.4.: Рассмотрим все остроугольные треугольники с заданными стороной a и углом a. Чему равен максимум суммы квадратов длин сторон b и c?

11.5.: Среди всех треугольников, вписанных в данную окружность, найдите тот, у которого максимальна сумма квадратов длин сторон.

11.6^*.: Периметр треугольника ABC равен 2p. На сторонах AB и AC взяты точки M и N так, что MN||BC и MN касается вписанной окружности треугольника ABC. Найдите наибольшее значение длины отрезка MN.

11.7^*.: В данный треугольник поместите центрально симметричный многоугольник наибольшей площади.

11.8^*.: Площадь треугольника ABC равна 1. Пусть A₁, B₁, C₁ - середины сторон BC, CA, AB соответственно. На отрезках AB₁, CA₁, BC₁ взяты точки K, L, M соответственно. Чему равна минимальная площадь общей части треугольников KLM и A₁B₁C₁?

11.9^*.: Какую наименьшую ширину должна иметь бесконечная полоса бумаги, из которой можно вырезать любой треугольник площадью 1?

* * *

11.10.

Докажите, что треугольники с длинами сторон a, b, c и a₁, b₁, c₁ подобны тогда и только тогда, когда

aa₁

bb₁

cc₁

(a + b + c)(a₁ + b₁ + c₁).

11.11^*.

Докажите, что если a, b, g и a₁, b₁, g₁ - углы двух треугольников, то

cos a₁

sin a

cos b₁

sin b

cos g₁

sin g

Ј ctg a + ctg b + ctg g.

11.12^*.: Пусть a, b и c - длины сторон треугольника площади S; a₁, b₁ и g₁ — углы некоторого другого треугольника. Докажите, что a²ctg a₁ + b²ctg b₁ + c²ctg g₁ і 4S, причем равенство достигается, только если рассматриваемые треугольники подобны.

11.13^*.

Пусть a, b и g - углы треугольника со сторонами a, b и c, причем a і b і c; x, y и z - углы некоторого другого треугольника. Докажите, что

bc + ca – ab < bccos x + cacos y + abcos z Ј (a² + b² + c²)/2.

См. также задачу 17.21.

Глава 11 \|	Оглавление \|	Глава 11. § 2

Внимание! Данное издание содержит опечатки!
Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора.
Заказ книги: biblio@mccme.ru.