Глава 11. § 1  |	Оглавление |	Глава 11. § 3

§ 2.  Экстремальные точки треугольника

11.14.

На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC взята точка X; M и N - ее проекции на катеты AC и BC.

б) При каком положении точки X площадь четырехугольника CMXN будет наибольшей?

11.15.

Из точки M, лежащей на стороне AB остроугольного треугольника ABC, опущены перпендикуляры MP и MQ на стороны BC и AC. При каком положении точки M длина отрезка PQ минимальна?

11.16.

Дан треугольник ABC. Найдите на прямой AB точку M, для которой сумма радиусов описанных окружностей треугольников ACM и BCM была бы наименьшей.

11.17.

Из точки M описанной окружности треугольника ABC опущены перпендикуляры MP и MQ на прямые AB и AC. При каком положении точки M длина отрезка PQ максимальна?

11.18^*.

Внутри треугольника ABC взята точка O. Пусть d_a, d_b, d_c - расстояния от нее до прямых BC, CA, AB. При каком положении точки O произведение d_ad_bd_c будет наибольшим?

11.19^*.

Точки A₁, B₁ и C₁ взяты на сторонах BC, CA и AB треугольника ABC, причем отрезки AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке M. При каком положении точки M величина

MA1 AA1

·

MB1 BB1

·

MC1 CC1

максимальна?

11.20^*.

Из точки M, лежащей внутри данного треугольника ABC, опущены перпендикуляры MA₁, MB₁, MC₁ на прямые BC, CA, AB. Для каких точек M внутри данного треугольника ABC величина a/MA₁ + b/MB₁ + c/MC₁ принимает наименьшее значение?

11.21^*.

Дан треугольник ABC. Найдите внутри его точку O, для которой сумма длин отрезков OA, OB, OC минимальна. (Обратите внимание на тот случай, когда один из углов треугольника больше 120°.)

11.22^*.

Найдите внутри треугольника ABC точку O, для которой сумма квадратов расстояний от нее до сторон треугольника минимальна.

Глава 11. § 1  |	Оглавление |	Глава 11. § 3

Copyright © 2002 МЦНМО

Внимание! Данное издание содержит опечатки! Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора. Заказ книги: biblio@mccme.ru.