Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. (4-е изд. — Осторожно! В этом издании немало опечаток!)МЦНМО, 2002

 Глава 11. § 1  |  Оглавление |  Глава 11. § 3

§ 2.  Экстремальные точки треугольника

11.14.
На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC взята точка X; M и N - ее проекции на катеты AC и BC.
а) При каком положении точки X длина отрезка MN будет наименьшей?

б) При каком положении точки X площадь четырехугольника CMXN будет наибольшей?

11.15.
Из точки M, лежащей на стороне AB остроугольного треугольника ABC, опущены перпендикуляры MP и MQ на стороны BC и AC. При каком положении точки M длина отрезка PQ минимальна?
11.16.
Дан треугольник ABC. Найдите на прямой AB точку M, для которой сумма радиусов описанных окружностей треугольников ACM и BCM была бы наименьшей.
11.17.
Из точки M описанной окружности треугольника ABC опущены перпендикуляры MP и MQ на прямые AB и AC. При каком положении точки M длина отрезка PQ максимальна?
11.18*.
Внутри треугольника ABC взята точка O. Пусть da, db, dc - расстояния от нее до прямых BC, CA, AB. При каком положении точки O произведение dadbdc будет наибольшим?
11.19*.
Точки A1, B1 и C1 взяты на сторонах BC, CA и AB треугольника ABC, причем отрезки AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке M. При каком положении точки M величина
 MA1

AA1
 ·   MB1

BB1
 ·   MC1

CC1

максимальна?
11.20*.
Из точки M, лежащей внутри данного треугольника ABC, опущены перпендикуляры MA1, MB1, MC1 на прямые BC, CA, AB. Для каких точек M внутри данного треугольника ABC величина a/MA1 + b/MB1 + c/MC1 принимает наименьшее значение?
11.21*.
Дан треугольник ABC. Найдите внутри его точку O, для которой сумма длин отрезков OA, OB, OC минимальна. (Обратите внимание на тот случай, когда один из углов треугольника больше 120°.)
11.22*.
Найдите внутри треугольника ABC точку O, для которой сумма квадратов расстояний от нее до сторон треугольника минимальна.
См. также задачу 18.22 а).


  Глава 11. § 1  |  Оглавление |  Глава 11. § 3

Copyright © 2002 МЦНМО Внимание! Данное издание содержит опечатки!
Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора.
Заказ книги: biblio@mccme.ru.
Rambler's Top100