Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. (4-е изд. — Осторожно! В этом издании немало опечаток!)	МЦНМО, 2002


Глава 12. § 2 \|	Оглавление \|	Глава 12. § 4

§ 3. Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы

12.17.: Докажите, что:

а) a = r(ctg (b/2) + ctg (g/2)) = rcos (a/2)/(sin (b/2)sin (g/2));

б) a = r_a(tg (b/2) + tg (g/2)) = r_acos (a/2)/(cos (b/2)cos (g/2));

в) p – b = rctg (b/2) = r_atg (g/2);

г) p = r_actg (a/2).

12.18.: Докажите, что:

а) rp = r_a(p – a), rr_a = (p – b)(p – c) и r_br_c = p(p – a);

б) S² = p(p – a)(p – b)(p – c) (формула Герона );

в) S² = rr_ar_br_c.

12.19.: Докажите, что S = r_c²tg (a/2)tg (b/2)ctg (g/2).

12.20.: Докажите, что S = cr_ar_b/(r_a + r_b).

12.21.

Докажите, что

h_a

r_b

r_c

12.22.

Докажите, что

h_a

h_b

h_c

r_a

r_b

r_c

12.23.

Докажите, что

(p – a)(p – b)

(p – b)(p – c)

(p – c)(p – a)

r²

12.24.: Докажите, что r_a + r_b + r_c = 4R + r.

12.25.: Докажите, что r_ar_b + r_br_c + r_cr_a = p².

12.26.

Докажите, что

r³

–

r_a³

–

r_b³

–

r_c³

12R

S²

12.27^*.: Докажите, что a(b + c) = (r + r_a)(4R + r – r_a) и a(b – c) = (r_b – r_c)(4R – r_b – r_c).

12.28^*.

Пусть O- центр вписанной окружности треугольника ABC. Докажите, что

OA²

OB²

OC²

= 1

12.29^*.: а) Докажите, что если для некоторого треугольника p = 2R + r, то этот треугольник прямоугольный.

б) Докажите, что если p = 2Rsin j + rctg (j/2), то j- один из углов треугольника (предполагается, что 0 < j < p).

Глава 12. § 2 \|	Оглавление \|	Глава 12. § 4

Внимание! Данное издание содержит опечатки!
Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора.
Заказ книги: biblio@mccme.ru.