Глава 12. § 8  |	Оглавление |	Глава 12. § 10

§ 9.  Разные задачи

12.68.

Найдите все треугольники, у которых углы образуют арифметическую прогрессию, а стороны: а) арифметическую прогрессию; б) геометрическую прогрессию.

12.69.

Найдите высоту трапеции, у которой основания AB и CD равны a и b (a < b), угол между диагоналями равен 90°, а угол между продолжениями боковых сторон равен 45°.

12.70.

Вписанная окружность касается стороны BC треугольника ABC в точке K. Докажите, что площадь треугольника равна BK · KCctg (a/2).

12.71.

Докажите, что если ctg (a/2) = (b + c)/a, то треугольник прямоугольный.

12.72.

Продолжения биссектрис треугольника ABC пересекают описанную окружность в точках A₁,B₁ и C₁. Докажите, что S_ABC/S_A1B1C1 = 2r/R, где r и R- радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника ABC.

12.73.

Докажите, что сумма котангенсов углов треугольника ABC равна сумме котангенсов углов треугольника, составленного из медиан треугольника ABC.

12.74^*.

Пусть A₄- ортоцентр треугольника A₁A₂A₃. Докажите, что существуют такие числа l₁,…,l₄, что A_iA_j² = l_i + l_j, причем, если треугольник не прямоугольный, то 

е

(1/li) = 0

.

Глава 12. § 8  |	Оглавление |	Глава 12. § 10

Copyright © 2002 МЦНМО

Внимание! Данное издание содержит опечатки! Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора. Заказ книги: biblio@mccme.ru.