Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. (4-е изд. — Осторожно! В этом издании немало опечаток!)МЦНМО, 2002
 Глава 12. § 10  |  Оглавление |  Глава 12. Решения 
Задачи для самостоятельного решения

12.79.
Каждая из двух окружностей касается обеих сторон данного прямого угла. Найдите отношение радиусов окружностей, если известно, что одна из них проходит через центр другой.
12.80.
Пусть продолжения сторон AB и CD,  BC и AD выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точках K и M соответственно. Докажите, что радиусы окружностей, описанных около треугольников ACM, BDK, ACK, BDM, связаны соотношением RACM · RBDK = RACK · RBDM.
12.81.
Три окружности радиусов 1,2,3 касаются друг друга внешним образом. Найдите радиус окружности, проходящей через точки касания этих окружностей.
12.82.
Пусть точка K лежит на стороне BC треугольника ABC. Докажите, что
AC2 · BK + AB2 · CK = BC(AK2 + BK · KC).
12.83.
Докажите, что длина биссектрисы внешнего угла A треугольника ABC равна 
 2bcsin (a/2)
|b – c|

.
12.84.
Две окружности радиусов R и r расположены так, что их общие внутренние касательные перпендикулярны. Найдите площадь треугольника, образованного этими касательными и общей внешней касательной.
12.85.
Докажите, что сумма углов при лучах любой (неправильной) пятиконечной звезды равна 180°.
12.86.
Докажите, что в любом треугольнике
S = (p – a)2tg   a
2
 ctg   b
2
 ctg   g
2
 .
12.87.
Пусть a < b < c- длины сторон треугольника;  la,lb,lc и laў,lbў,lcў - длины его биссектрис и биссектрис внешних углов. Докажите, что  
 1
alalaў
  +   1
clclcў
  =   1
blblbў

.
12.88.
В каждый угол треугольника вписана окружность, касающаяся вписанной окружности треугольника. Найдите радиус вписанной окружности, если известны радиусы этих окружностей.
12.89.
Вписанная окружность касается сторон AB,BC,CA в точках K,L,M соответственно. Докажите, что:
а)  
S =   1
2
 ж
и 		 MK2
sin a
  +   KL2
sin b
  +   LM2
sin g
 ц
ш

;

б)  
S2 =   1
4
 (bc MK2 + caKL2 + ab LM2)

;

в)  
 MK2
hbhc
  +   KL2
hcha
  +   LM2
hahb
  = 1

.

  Глава 12. § 10  |  Оглавление |  Глава 12. Решения 
Copyright © 2002 МЦНМО Внимание! Данное издание содержит опечатки!
Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора.
Заказ книги: biblio@mccme.ru. 		Rambler's Top100