Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. (4-е изд. — Осторожно! В этом издании немало опечаток!)МЦНМО, 2002
 Глава 12. Решения  |  Оглавление |  Глава 13. § 1
Глава 13. § 0 Векторы

Глава 13.
Векторы



Основные сведения

1. Мы будем пользоваться следующими обозначениями:

а)
®
AB
 

и a - векторы;

б) AB и |a| - их длины; изредка длину вектора a обозначают a;

в)
( ®
AB
 
 ,  ®
CD
 
 )

, (a, b) и 
( ®
AB
 
 , a)

- скалярные произведения векторов;

г) (x, y) - вектор с координатами x, y;

д)
®
0
 

или 0 - нулевой вектор.

2. Ориентированным углом между ненулевыми векторами a и b (обозначение: Р(a, b)) будем называть угол, на который нужно повернуть против часовой стрелки вектор a, чтобы он стал сонаправлен с вектором b. Углы, отличающиеся на 360°, считают равными. Легко проверить следующие свойства ориентированных углов между векторами:

а) Р(a, b) =  – Р(b, a);

б) Р(a, b) + Р(b, c)  =  Р(a, c);

в) Р( – a, b) = Р(a, b) + 180°.

3. Скалярным произведением векторов a и b называют число (a, b) = |a| · |b|cos Р(a, b) (если один из этих векторов нулевой, то (a, b) = 0). Легко проверить следующие свойства скалярного произведения:

а) (a, b) = (b, a);

б) |(a, b)| Ј |a| · |b|;

в) (la + mb, c) = l(a, c) + m(b, c);

г) если a, b № 0, то (a, b) = 0 тогда и только тогда, когда a^b.

4. Многие векторные неравенства доказываются с помощью следующего факта.

Пусть даны два набора векторов, причем известно, что сумма длин проекций векторов первого набора на любую прямую не больше суммы длин проекций векторов второго набора на ту же прямую. Тогда сумма длин векторов первого набора не больше суммы длин векторов второго набора (см. задачу 13.39). Тем самым задача на плоскости сводится к задаче на прямой, которая обычно бывает легче.

Вводные задачи

1. Пусть AA1 - медиана треугольника ABC. Докажите, что
®
AA
 

1 
  = ( ®
AB
 
  +  ®
AC
 
 )/2

.

2. Докажите, что |a + b|2 + |a – b|2  =  2(|a|2 + |b|2).

3. Докажите, что если векторы a + b и a – b перпендикулярны, то |a| = |b|.

4. Пусть
®
OA
 
  +  ®
OB
 
  +  ®
OC
 
  =  ®
0
 

и OA = OB = OC. Докажите, что ABC - правильный треугольник.

5. Пусть M и N - середины отрезков AB и CD. Докажите, что
®
MN
 
  = ( ®
AC
 
  +  ®
BD
 
 )/2

.

  Глава 12. Решения  |  Оглавление |  Глава 13. § 1
Copyright © 2002 МЦНМО Внимание! Данное издание содержит опечатки!
Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора.
Заказ книги: biblio@mccme.ru. 		Rambler's Top100