Глава 13. § 1  |	Оглавление |	Глава 13. § 3

§ 2.  Скалярное произведение. Соотношения

13.11. Докажите, что если диагонали четырехугольника ABCD перпендикулярны, то и диагонали любого другого четырехугольника с такими же длинами сторон перпендикулярны.

13.12. а) Пусть A, B, C и D - произвольные точки плоскости. Докажите, что

(

® AB

,

® CD

) + (

® BC

,

® AD

) + (

® CA

,

® BD

) = 0

.

б) Докажите, что высоты треугольника пересекаются в одной точке.

13.13. Пусть O - центр описанной окружности треугольника ABC, а точка H обладает тем свойством, что

® OH

=

® OA

+

® OB

+

® OC

. Докажите, что H - точка пересечения высот треугольника ABC.

13.14. Пусть a₁, ј, a_n - векторы сторон n-угольника, j_ij = Р(a_i, a_j). Докажите, что

a12 = a22 + ј + an2 + 2

е i > j > 1

ai ajcos jij

, где a_i = |a_i|.

13.15. Дан четырехугольник ABCD. Пусть u = AD², v = BD², w = CD², U = BD² + CD² – BC², V = AD² + CD² – AC², W = AD² + BD² – AB². Докажите, что uU² + vV² + wW² = UVW + 4uvw (Гаусс).

13.16^*. Точки A, B, C и D таковы, что для любой точки M числа

(

® MA

,

® MB

)

и 

(

® MC

,

® MD

)

различны. Докажите, что

® AC

=

® DB

.

13.17^*. Докажите, что в выпуклом k-угольнике сумма расстояний от любой внутренней точки до сторон постоянна тогда и только тогда, когда сумма векторов единичных внешних нормалей равна нулю.

13.18^*. В выпуклом четырехугольнике сумма расстояний от вершины до сторон одна и та же для всех вершин. Докажите, что этот четырехугольник является параллелограммом.

Глава 13. § 1  |	Оглавление |	Глава 13. § 3

Copyright © 2002 МЦНМО

Внимание! Данное издание содержит опечатки! Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора. Заказ книги: biblio@mccme.ru.