Глава 13. § 5  |	Оглавление |	Глава 13. § 7

§ 6.  Метод усреднения

13.39^*. Даны два набора векторов a₁, ј, a_n и  b₁, ј, b_m, причем сумма длин проекций векторов первого набора на любую прямую не больше суммы длин проекций векторов второго набора на ту же прямую. Докажите, что сумма длин векторов первого набора не больше суммы длин векторов второго набора.

13.40^*. Докажите, что если один выпуклый многоугольник лежит внутри другого, то периметр внутреннего многоугольника не превосходит периметра внешнего.

13.41^*. Сумма длин нескольких векторов на плоскости равна L. Докажите, что из этих векторов можно выбрать некоторое число векторов (может быть, только один) так, что длина их суммы будет не меньше L/p.

13.42^*. Докажите, что если длины всех сторон и диагоналей выпуклого многоугольника меньше d, то его периметр меньше pd.

13.43^*. На плоскости даны четыре вектора a, b, c и d, сумма которых равна нулю. Докажите, что

|a| + |b| + |c| + |d| і |a + d| + |b + d| + |c + d|.

13.44^*. Внутри выпуклого n-угольника A₁A₂јA_n взята точка O так, что

® OA1

+ ј +

® OAn

=

® 0

. Пусть d = OA₁ + ј + OA_n. Докажите, что периметр многоугольника не меньше 4d/n при n четном и не меньше 4dn/(n² – 1) при n нечетном.

13.45^*. Длина проекции замкнутой выпуклой кривой на любую прямую равна 1. Докажите, что ее длина равна p.

13.46^*. Дано несколько выпуклых многоугольников, причем нельзя провести прямую так, чтобы она не пересекала ни одного многоугольника и по обе стороны от нее лежал хотя бы один многоугольник. Докажите, что эти многоугольники можно заключить в многоугольник, периметр которого не превосходит суммы их периметров.

Глава 13. § 5  |	Оглавление |	Глава 13. § 7

Copyright © 2002 МЦНМО

Внимание! Данное издание содержит опечатки! Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора. Заказ книги: biblio@mccme.ru.