Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. (4-е изд. — Осторожно! В этом издании немало опечаток!)МЦНМО, 2002

 Глава 13. § 7  |  Оглавление |  Глава 13. Решения 

Задачи для самостоятельного решения

13.57. Пусть M и N - середины отрезков AB и AC, P - середина отрезка MN, O - произвольная точка. Докажите, что
2 ®
OA
 
 +  ®
OB
 
 +  ®
OC
 
 = 4 ®
OP
 

.

13.58. Точки A, B и C движутся равномерно с одинаковыми угловыми скоростями по трем окружностям в одну и ту же сторону. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника ABC при этом движется также по окружности.

13.59. Пусть A, B, C, D и E - произвольные точки. Существует ли такая точка O, что
®
OA
 
 +  ®
OB
 
 +  ®
OC
 
 =  ®
OD
 
 +  ®
OE
 

? Найдите все такие точки.

13.60. Пусть P и Q - середины диагоналей выпуклого четырехугольника ABCD. Докажите, что
AB2 + BC2 + CD2 + DA2 = AC2 + BD2 + 4PQ2.

13.61. Середины отрезков AB и CD, BC и DE соединены; середины полученных отрезков тоже соединены. Докажите, что последний отрезок параллелен отрезку AE и его длина равна AE/4.

13.62. Вписанная окружность касается сторон BC, CA и AB треугольника ABC в точках A1, B1 и C1. Докажите, что если
®
AA1
 
 +  ®
BB1
 
 +  ®
CC1
 
 =  ®
0
 

, то треугольник ABC правильный.

13.63. Четырехугольники ABCD, AEFG, ADFH, FIJE и BIJC являются параллелограммами. Докажите, что четырехугольник AFHG тоже параллелограмм.


  Глава 13. § 7  |  Оглавление |  Глава 13. Решения 

Copyright © 2002 МЦНМО Внимание! Данное издание содержит опечатки!
Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора.
Заказ книги: biblio@mccme.ru.
Rambler's Top100