| Прасолов В. В. Задачи по планиметрии.
(4-е изд. — Осторожно! В этом издании немало опечаток!) | МЦНМО, 2002 |
|---|
§ 2. Теорема о группировке масс
-
14.4.
-
Докажите, что медианы треугольника ABC пересекаются в одной
точке и делятся ею в отношении 2 : 1, считая от вершины.
-
14.5.
-
Пусть ABCD - выпуклый четырехугольник, K, L, M и N -
середины сторон AB, BC, CD и DA. Докажите,что точка пересечения
отрезков KM и LN является серединой этих отрезков, а также и
серединой отрезка, соединяющего середины диагоналей.
-
14.6.
-
Пусть A1, B1, ј, F1 - середины сторон AB, BC, ј, FA произвольного шестиугольника. Докажите, что точки
пересечения медиан треугольников A1C1E1 и B1D1F1 совпадают.
-
14.7.
-
Докажите теорему Чевы (задача 4.48, б)) с помощью группировки масс.
-
14.8*.
-
На сторонах AB, BC, CD и DA выпуклого четырехугольника ABCD
взяты точки K, L, M и N соответственно, причем AK : KB = DM : MC = a и BL : LC = AN : ND = b. Пусть P -
точка пересечения отрезков KM и LN. Докажите, что
NP : PL = a и KP : PM = b.
-
14.9*.
-
Найдите внутри треугольника ABC точку O, обладающую следующим
свойством: для любой прямой, проходящей через O и пересекающей
сторону AB в точке K и сторону BC в точке L, выполнено равенство
, где p и q - данные положительные
числа.
-
14.10*.
-
Три мухи равной массы ползают по сторонам
треугольника так, что их центр масс остается на месте.
Докажите, что он совпадает с точкой пересечения медиан
треугольника ABC, если известно, что одна муха проползла
по всей границе треугольника.
-
14.11*.
-
На сторонах AB, BC и CA треугольника ABC
взяты точки C1, A1 и B1 так, что прямые CC1, AA1
и BB1 пересекаются в некоторой точке O. Докажите, что:
а)
|
CO
OC1
|
= |
CA1
A1B
|
+ |
CB1
B1A
|
|
;
б)
|
AO
OA1
|
· |
BO
OB1
|
· |
CO
OC1
|
= |
AO
OA1
|
+ |
BO
OB1
|
+ |
CO
OC1
|
+ 2 і 8
|
.
-
14.12*.
-
На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC
взяты точки A1, B1 и C1 так, что BA1/A1C = CB1/B1A = AC1/C1B.
Докажите, что центры масс треугольников ABC и A1B1C1 совпадают.
-
14.13*.
-
В середины сторон треугольника ABC помещены точки, массы которых равны длинам
сторон. Докажите, что центр масс этой системы точек расположен в центре
вписанной окружности треугольника с вершинами в серединах сторон треугольника
ABC.
Замечание.
Центр масс системы точек, рассматриваемой в задаче 14.13 совпадает с
центром масс фигуры, изготовленной из трех тонких стержней одинаковой толщины.
Действительно, при нахождении центра масс стержень можно заменить на точку,
расположенную в середине стержня и имеющую массу, равную массе стержня. Ясно
также, что масса стержня пропорциональна его длине.
-
14.14*.
-
На окружности дано n точек. Через центр масс n – 2
точек проводится прямая, перпендикулярная хорде,
соединяющей две оставшиеся точки. Докажите, что все такие
прямые пересекаются в одной точке.
-
14.15*.
-
На прямых BC, CA, AB взяты точки A1 и A2, B1 и B2,
C1 и C2 так, что A1B2|| AB, B1C2|| BC и C1A2|| CA. Пусть
la - прямая, соединяющая точки пересечения прямых BB1 и CC2,
BB2 и CC1; прямые lb и lc определяются аналогично. Докажите, что
прямые la, lb и lc пересекаются в одной точке (или параллельны).
-
14.16*.
-
На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты
точки A1, B1 и C1, причем отрезки AA1, BB1 и CC1
пересекаются в точке P. Пусть la, lb, lc - прямые,
соединяющие середины отрезков BC и B1C1, CA и C1A1,
AB и A1B1. Докажите, что прямые la, lb и lc
пересекаются в одной точке, причем эта точка лежит на отрезке PM,
где M - центр масс треугольника ABC.
-
14.17*.
-
На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты
точки A1, B1 и C1; прямые B1C1, BB1 и CC1 пересекают
прямую AA1 в точках M, P и Q соответственно. Докажите, что:
а) A1M/MA = (A1P/PA) + (A1Q/QA);
б) если P = Q, то MC1 : MB1 = (BC1/AB) : (CB1/AC).
-
14.18*.
-
На прямой AB взяты точки P и P1, а на прямой
AC взяты точки Q и Q1. Прямая, соединяющая точку A
с точкой пересечения прямых PQ и P1Q1, пересекает
прямую BC в точке D. Докажите, что
|
|
|
= |
|
( |
BP
|
/ |
PA
|
) – ( |
BP1
|
/ |
P1A
|
) |
|
( |
CQ
|
/ |
QA
|
) – ( |
CQ1
|
/ |
Q1A
|
) |
|
. |
|
Глава 14. § 1 | 
