Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. (4-е изд. — Осторожно! В этом издании немало опечаток!)МЦНМО, 2002
 Глава 16 |  Оглавление |  Глава 16. § 2

§ 1.  Симметрия помогает решить задачу

16.1.
Докажите, что если в треугольнике медиана и биссектриса совпадают, то треугольник равнобедренный.
16.2.
Двое игроков поочередно выкладывают на прямоугольный стол пятаки. Монету разрешается класть только на свободное место. Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход. Докажите, что первый игрок всегда может выиграть.
16.3.
Окружность пересекает стороны BC, CA, AB треугольника ABC в точках A1 и A2, B1 и B2, C1 и C2 соответственно. Докажите, что если перпендикуляры к сторонам треугольника, проведенные через точки A1, B1 и C1, пересекаются в одной точке, то и  перпендикуляры к сторонам, проведенные через A2, B2 и C2, тоже пересекаются в одной точке.
16.4.
Докажите, что прямые, проведенные через середины сторон вписанного четырехугольника перпендикулярно противоположным сторонам, пересекаются в одной точке.
16.5.
Пусть P - середина стороны AB выпуклого четырехугольника ABCD. Докажите, что если площадь треугольника PCD равна половине площади четырехугольника ABCD, то BC||AD.
16.6.
Окружности S1 и S2 радиуса 1 касаются в точке A; центр O окружности S радиуса 2 принадлежит S1. Окружность S1 касается S в точке B. Докажите, что прямая AB проходит через точку пересечения окружностей S2 и S.
16.7*.
В треугольнике ABC проведены медианы AF и CE. Докажите, что если РBAF = РBCE = 30°, то треугольник ABC правильный.
16.8*.
Даны выпуклый n-угольник с попарно непараллельными сторонами и  точка O внутри его. Докажите, что через точку O нельзя провести более n прямых, каждая из которых делит площадь n-угольника пополам.
  Глава 16 |  Оглавление |  Глава 16. § 2
Copyright © 2002 МЦНМО Внимание! Данное издание содержит опечатки!
Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора.
Заказ книги: biblio@mccme.ru. 		Rambler's Top100