Глава 18 |	Оглавление |	Глава 18. § 2

§ 1.  Поворот на 90°

18.1.

На сторонах BC и CD квадрата ABCD взяты точки M и K соответственно, причем РBAM = РMAK. Докажите, что BM + KD = AK.

18.2.

В треугольнике ABC проведены медиана CM и высота CH. Прямые, проведенные через произвольную точку P плоскости перпендикулярно CA, CM и CB, пересекают прямую CH в точках A₁, M₁ и B₁. Докажите, что A₁M₁ = B₁M₁.

18.3.

Два квадрата BCDA и BKMN имеют общую вершину B. Докажите, что медиана BE треугольника ABK и высота BF треугольника CBN лежат на одной прямой. (Вершины обоих квадратов перечислены по часовой стрелке.)

18.4.

Внутри квадрата A₁A₂A₃A₄, взята точка P. Из вершины A₁ опущен перпендикуляр на A₂P, из A₂ - на A₃P, из A₃ - на A₄P, из A₄ - на A₁P. Докажите, что все четыре перпендикуляра (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

18.5.

На сторонах CB и CD квадрата ABCD взяты точки M и K так, что периметр треугольника CMK равен удвоенной стороне квадрата. Найдите величину угла MAK.

18.6.

На плоскости даны три (одинаково ориентированных) квадрата: ABCD, AB₁C₁D₁ и A₂B₂CD₂; первый квадрат имеет с двумя другими общие вершины A и C. Докажите, что медиана BM треугольника BB₁B₂ перпендикулярна отрезку D₁D₂.

18.7^*.

Дан треугольник ABC. На его сторонах AB и BC построены внешним образом квадраты ABMN и BCPQ. Докажите, что центры этих квадратов и середины отрезков MQ и AC образуют квадрат.

18.8^*.

Вокруг квадрата описан параллелограмм. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из вершин параллелограмма на стороны квадрата, образуют квадрат.

Глава 18 |	Оглавление |	Глава 18. § 2

Copyright © 2002 МЦНМО

Внимание! Данное издание содержит опечатки! Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора. Заказ книги: biblio@mccme.ru.