Прасолов В. В. Задачи по планиметрии.
(4-е изд. — Осторожно! В этом издании немало опечаток!) | МЦНМО, 2002 |
§ 2. Поворот на 60°
-
18.9.
-
На сторонах треугольника ABC внешним образом построены
правильные треугольники A1BC, AB1C и ABC1. Докажите,
что AA1 = BB1 = CC1.
-
18.10.
-
На отрезке AE по одну сторону от него построены равносторонние
треугольники ABC и CDE; M и P - середины отрезков
AD и BE. Докажите, что треугольник CPM равносторонний.
-
18.11.
-
Постройте равносторонний треугольник ABC так,
чтобы его вершины лежали на трех данных параллельных прямых.
-
18.12.
-
Рассмотрим всевозможные равносторонние треугольники PKM,
вершина P которых фиксирована, а вершина K лежит в данном
квадрате. Найдите геометрическое место вершин M.
-
18.13.
-
На сторонах BC и CD параллелограмма ABCD
построены внешним образом правильные треугольники BCP
и CDQ. Докажите, что треугольник APQ правильный.
-
18.14.
-
Точка M лежит на дуге AB описанной окружности
правильного треугольника ABC. Докажите, что MC = MA + MB.
-
18.15.
-
Найдите геометрическое место точек M, лежащих
внутри правильного треугольника ABC, для которых
MA2 = MB2 + MC2.
-
18.16.
-
Шестиугольник ABCDEF правильный, K и M - середины
отрезков BD и EF. Докажите, что треугольник AMK правильный.
-
18.17.
-
Пусть M и N - середины сторон CD и DE правильного
шестиугольника ABCDEF, P - точка пересечения отрезков AM
и BN.
а) Найдите величину угла между прямыми AM и BN.
б) Докажите, что SABP = SMDNP.
-
18.18.
-
На сторонах AB и BC правильного треугольника
ABC взяты точки M и N так, что MN||AC, E - середина
отрезка AN, D - центр треугольника BMN. Найдите величины
углов треугольника CDE.
-
18.19.
-
На сторонах треугольника ABC внешним образом
построены правильные треугольники ABC1, AB1C и A1BC.
Пусть P и Q - середины отрезков A1B1 и A1C1. Докажите,
что треугольник APQ правильный.
-
18.20.
-
На сторонах AB и AC треугольника ABC внешним
образом построены правильные треугольники ABCў и ABўC.
Точка M делит, сторону BC в отношении BM : MC = 3 : 1;
K и L - середины сторон ACў и BўC. Докажите, что углы
треугольника KLM равны 30°, 60° и 90°.
-
18.21.
-
Правильные треугольники ABC, CDE, EHK (вершины обходятся в
направлении против часовой стрелки) расположены на плоскости так,
что
. Докажите, что треугольник BHD тоже правильный.
-
18.22*.
-
а) Внутри остроугольного треугольника найдите
точку, сумма расстояний от которой до вершин минимальна.
б) Внутри треугольника ABC, все углы которого меньше 120°,
взята точка O, из которой его стороны видны под углом 120°.
Докажите, что сумма расстояний от точки O до вершин равна
(a2 + b2 + c2)/2 + 2Ц3 S.
-
18.23*.
-
Даны точка X и правильный треугольник ABC. Докажите, что из отрезков
XA, XB и XC можно составить треугольник, причем этот треугольник
вырожденный тогда и только тогда, когда точка X лежит на описанной окружности
треугольника ABC (Помпею).
-
18.24*.
-
Шестиугольник ABCDEF вписан в окружность радиуса R, причем
AB = CD = EF = R. Докажите, что середины сторон BC, DE и FA образуют
правильный треугольник.
-
18.25*.
-
На сторонах выпуклого центрально симметричного шестиугольника ABCDEF
внешним образом построены правильные треугольники. Докажите, что
середины отрезков, соединяющих вершины соседних треугольников, образуют
правильный шестиугольник.