Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. (4-е изд. — Осторожно! В этом издании немало опечаток!)	МЦНМО, 2002


Глава 18. § 4 \|	Оглавление \|	Глава 18. Решения

Задачи для самостоятельного решения

18.47.: На плоскости проведена окружность радиуса 1 с центром O. Две соседние вершины квадрата лежат на этой окружности. На каком наибольшем расстоянии от точки O могут лежать две другие его вершины?

18.48.: На сторонах выпуклого четырехугольника ABCD построены правильные треугольники ABM, CDP во внешнюю сторону, a BCN, ADK - во внутреннюю. Докажите, что MN = AC.

18.49.: На сторонах выпуклого четырехугольника ABCD во внешнюю сторону построены квадраты с центрами M, N, P, Q. Докажите, что середины диагоналей четырехугольников ABCD и MNPQ образуют квадрат.

18.50.: Внутри правильного треугольника ABC лежит точка O. Известно, что РAOB = 113°, РBOC = 123°. Найдите углы треугольника, стороны которого равны отрезкам OA, OB, OC.

18.51.: На плоскости проведено n прямых (n > 2), причем никакие две из них не параллельны и никакие три не пересекаются в одной точке. Известно, что можно повернуть плоскость вокруг некоторой точки O на некоторый угол a (a < 180°) так, что каждая из проведенных прямых совместится с какой¯нибудь другой проведенной прямой. Укажите все n, для которых это возможно.

18.52.: По кругу расположены 10 шестеренок различных размеров. Первая шестеренка сцеплена со второй, вторая с третьей и т. д. Десятая сцеплена с первой. Всегда ли такая система может вращаться? Может ли вращаться такая же система, состоящая из 11 шестеренок?

18.53.: а) Постройте равносторонний треугольник, высоты которого пересекаются в данной точке, а две вершины лежат на данной окружности.

б) Постройте квадрат, две вершины которого лежат на данной окружности, а диагонали пересекаются в данной точке.

Глава 18. § 4 \|	Оглавление \|	Глава 18. Решения

Внимание! Данное издание содержит опечатки!
Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора.
Заказ книги: biblio@mccme.ru.