| Прасолов В. В. Задачи по планиметрии.
(4-е изд. — Осторожно! В этом издании немало опечаток!) | МЦНМО, 2002 |
|---|
§ 1. Гомотетичные многоугольники
-
19.1.
-
Четырехугольник разрезан диагоналями на четыре
треугольника. Докажите, что их точки пересечения медиан
образуют параллелограмм.
-
19.2.
-
Продолжения боковых сторон AB и CD трапеции
ABCD пересекаются в точке K, а ее диагонали - в точке L.
Докажите, что точки K, L, M и N, где M и N - середины
оснований BC и AD, лежат на одной прямой.
-
19.3.
-
В трапеции точка пересечения диагоналей равноудалена от прямых, на
которых лежат боковые стороны. Докажите, что трапеция равнобедренная.
-
19.4.
-
Медианы AA1, BB1 и CC1 треугольника ABC
пересекаются в точке M; P - произвольная точка. Прямая la
проходит через точку A параллельно прямой PA1; прямые lb
и lc определяются аналогично. Докажите, что:
а) прямые la, lb и lc пересекаются в одной точке Q;
б) точка M лежит на отрезке PQ, причем PM : MQ = 1 : 2.
-
19.5.
-
Окружность S касается равных сторон AB и BC
равнобедренного треугольника ABC в точках P и K, а также
касается внутренним образом описанной окружности треугольника ABC.
Докажите, что середина отрезка PK является
центром вписанной окружности треугольника ABC.
-
19.6*.
-
Выпуклый многоугольник обладает следующим свойством: если все его
стороны отодвинуть на расстояние 1 во внешнюю сторону, то полученные
прямые образуют многоугольник, подобный исходному. Докажите, что этот
многоугольник описанный.
-
19.7*.
-
Пусть R и r - радиусы описанной и вписанной
окружностей треугольника. Докажите, что R і 2r, причем
равенство достигается лишь для равностороннего треугольника.
-
19.8*.
-
Пусть M - центр масс n-угольника A1јAn;
M1, ј, Mn - центры масс (n – 1)-угольников,
полученных из этого n-угольника выбрасыванием вершин A1, ј,
An соответственно. Докажите, что многоугольники A1јAn
и M1јMn гомотетичны.
-
19.9*.
-
Докажите, что любой выпуклый многоугольник F содержит два
непересекающихся многоугольника F1 и F2, подобных F
с коэффициентом 1/2.
См. также задачу 5.97.
Глава 19 | 
