Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. (4-е изд. — Осторожно! В этом издании немало опечаток!)	МЦНМО, 2002


Глава 19. § 1 \|	Оглавление \|	Глава 19. § 3

§ 2. Гомотетичные окружности

19.10.: На окружности фиксированы точки A и B, а точка C движется по этой окружности. Найдите геометрическое место точек пересечения медиан треугольников ABC.

19.11^*.: а) Вписанная окружность треугольника ABC касается стороны AC в точке D, DM - ее диаметр. Прямая BM пересекает сторону AC в точке K. Докажите, что AK = DC.

б) В окружности проведены перпендикулярные диаметры AB и CD. Из точки M, лежащей вне окружности, проведены касательные к окружности, пересекающие прямую AB в точках E и H, а также прямые MC и MD, пересекающие прямую AB в точках F и K. Докажите, что EF = KH.

19.12^*.: Пусть O - центр вписанной окружности треугольника ABC, D - точка касания ее со стороной AC, B₁ - середина стороны AC. Докажите, что прямая B₁O делит отрезок BD пополам.

19.13^*.: Окружности a, b и g имеют одинаковые радиусы и касаются сторон углов A, B и C треугольника ABC соответственно. Окружность d касается внешним образом всех трех окружностей a, b и g. Докажите, что центр окружности d лежит на прямой, проходящей через центры вписанной и описанной окружностей треугольника ABC.

19.14^*.: Дан треугольник ABC. Построены четыре окружности равного радиуса r так, что одна из них касается трех других, а каждая из этих трех касается двух сторон треугольника. Найдите r, если радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника равны r и R соответственно.

19.15^*.: В каждый угол треугольника ABC вписана окружность, касающаяся описанной окружности. Пусть A₁, B₁ и C₁ - точки касания этих окружностей с описанной окружностью. Докажите, что прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке.

Глава 19. § 1 \|	Оглавление \|	Глава 19. § 3

Внимание! Данное издание содержит опечатки!
Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора.
Заказ книги: biblio@mccme.ru.