Глава 19. § 4  |	Оглавление |	Глава 19. § 6

§ 5.  Поворотная гомотетия

19.27.

Окружности S₁ и S₂ пересекаются в точках A и B. Прямые p и q, проходящие через точку A, пересекают окружность S₁ в точках P₁ и Q₁, а окружность S₂ - в  точках P₂ и Q₂. Докажите, что угол между прямыми P₁Q₁ и P₂Q₂ равен углу между окружностями S₁ и S₂.

19.28.

Окружности S₁ и S₂ пересекаются в точках A и B. При поворотной гомотетии P с центром A, переводящей S₁ в S₂, точка M₁ окружности S₁ переходит в M₂. Докажите, что прямая M₁M₂ проходит через точку B.

19.29.

Окружности S₁, ј, S_n проходят через точку O. Кузнечик из точки X_i окружности S_i прыгает в точку X_i + 1 окружности S_i + 1 так, что прямая X_iX_i + 1 проходит через точку пересечения окружностей S_i и S_i + 1, отличную от точки O. Докажите, что после n прыжков (с окружности S₁ на S₂, с S₂ на S₃, ј, с S_n на S₁) кузнечик вернется в исходную точку.

19.30.

Две окружности пересекаются в точках A и B, а хорды AM и AN касаются этих окружностей. Треугольник MAN достроен до параллелограмма MANC и отрезки BN и MC разделены точками P и Q в равных отношениях. Докажите, что РAPQ = РANC.

19.31.

Даны две неконцентрические окружности S₁ и S₂. Докажите, что существуют ровно две поворотные гомотетии с углом поворота 90°, переводящие S₁ в S₂.

19.32.

Дан квадрат ABCD. Точки P и Q лежат соответственно на сторонах AB и BC, причем BP = BQ. Пусть H - основание перпендикуляра, опущенного из точки B на отрезок PC. Докажите, что РDHQ = 90°.

19.33.

На сторонах треугольника ABC внешним образом построены подобные треугольники: DA₁BC ~ DB₁CA ~ DC₁AB. Докажите, что точки пересечения медиан треугольников ABC и A₁B₁C₁ совпадают.

19.34.

Середины сторон BC и B₁C₁ правильных треугольников ABC и A₁B₁C₁ совпадают (вершины обоих треугольников перечислены по часовой стрелке). Найдите величину угла между прямыми AA₁ и BB₁, а также отношение длин отрезков AA₁ и BB₁.

19.35.

Треугольник ABC при поворотной гомотетии переходит в  треугольник A₁B₁C₁; O - произвольная точка. Пусть A₂ - вершина параллелограмма OAA₁A₂; точки B₂ и C₂ определяются аналогично. Докажите, что DA₂B₂C₂ ~ DABC.

19.36^*.

На прямоугольную карту положили карту той же местности, но меньшего масштаба. Докажите, что можно проткнуть иголкой сразу обе карты так, чтобы точка прокола изображала на обеих картах одну и ту же точку местности.

19.37^*.

Поворотные гомотетии P₁ и P₂ с центрами A₁ и A₂ имеют один и тот же угол поворота, а произведение их коэффициентов равно 1. Докажите, что композиция P₂°P₁ является поворотом, причем его центр совпадает с центром другого поворота, переводящего A₁ в A₂ и имеющего угол поворота

2Р(

® MA1

,

® MN

)

, где M - произвольная точка и N = P₁(M).

19.38^*.

Треугольники MAB и MCD подобны, но имеют противоположные ориентации. Пусть O₁ - центр поворота на угол

2Р(

® AB

,

® BM

)

, переводящего A в C, а O₂ - центр поворота на угол

2Р(

® AB

,

® AM

)

, переводящего B в D. Докажите, что O₁ = O₂.

19.39^*.

Дана полуокружность с диаметром AB. Для каждой точки X этой полуокружности на луче XA откладывается точка Y так, что XY = k XB. Найдите ГМТ Y.

19.40^*.

На стороне AB треугольника ABC дана точка P. Впишите в треугольник ABC треугольник PXY, подобный данному треугольнику LMN.

19.41^*.

Постройте четырехугольник ABCD по РB + РD, a = AB, b = BC, c = CD и d = DA.

Глава 19. § 4  |	Оглавление |	Глава 19. § 6

Copyright © 2002 МЦНМО

Внимание! Данное издание содержит опечатки! Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора. Заказ книги: biblio@mccme.ru.