Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. (4-е изд. — Осторожно! В этом издании немало опечаток!)	МЦНМО, 2002


Глава 19. § 5 \|	Оглавление \|	Глава 19. § 7

§ 6. Центр поворотной гомотетии

19.42.: а) Пусть P - точка пересечения прямых AB и A₁B₁. Докажите, что если среди точек A, B, A₁, B₁ и P нет совпадающих, то общая точка описанных окружностей треугольников PAA₁ и PBB₁ является центром поворотной гомотетии, переводящей точку A в A₁, а точку B в B₁, причем такая поворотная гомотетия единственна.

б) Докажите, что центром поворотной гомотетии, переводящей отрезок AB в отрезок BC, является точка пересечения окружности, проходящей через точку A и касающейся прямой BC в точке B, и окружности, проходящей через точку C и касающейся прямой AB в точке B.

19.43.: По двум пересекающимся прямым с постоянными, но не равными скоростями движутся точки A и B. Докажите, что существует такая точка P, что в любой момент времени AP : BP = k, где k - отношение скоростей.

19.44.: Постройте центр O поворотной гомотетии с данным коэффициентом k № 1, переводящей прямую l₁ в прямую l₂, а точку A₁ лежащую на l₁, - в точку A₂.

19.45.: Докажите, что центр поворотной гомотетии, переводящей отрезок AB в отрезок A₁B₁, совпадает с центром поворотной гомотетии, переводящей отрезок AA₁ в отрезок BB₁.

19.46^*.: Четыре пересекающиеся прямые образуют четыре треугольника. Докажите, что четыре окружности, описанные около этих треугольников, имеют одну общую точку.

19.47^*.: Параллелограмм ABCD отличен от ромба. Прямые, симметричные прямым AB и CD относительно диагоналей AC и DB соответственно, пересекаются в точке Q. Докажите, что Q - центр поворотной гомотетии, переводящей отрезок AO в отрезок OD, где O - центр параллелограмма.

19.48^*.: Даны два правильных пятиугольника с общей вершиной. Вершины каждого пятиугольника нумеруются цифрами от 1 до 5 по часовой стрелке, причем в общей вершине ставится 1. Вершины с одинаковыми номерами соединены прямыми. Докажите, что полученные четыре прямые пересекаются в одной точке.

19.49^*.: На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки A₁, B₁ и C₁ так, что DABC ~ DA₁B₁C₁. Пары отрезков BB₁ и CC₁, CC₁ и AA₁, AA₁ и BB₁ пересекаются в точках A₂, B₂ и C₂ соответственно. Докажите, что описанные окружности треугольников ABC₂, BCA₂, CAB₂, A₁B₁C₂, B₁C₁A₂ и C₁A₁B₂ пересекаются в одной точке.

Глава 19. § 5 \|	Оглавление \|	Глава 19. § 7

Внимание! Данное издание содержит опечатки!
Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора.
Заказ книги: biblio@mccme.ru.