Глава 19. § 6  |	Оглавление |	Глава 19. Задачи для самостоятельного решения

§ 7.  Окружность подобия трех фигур

Пусть F₁, F₂ и F₃ - три подобные фигуры, O₁ - центр поворотной гомотетии, переводящей F₂ в F₃, точки O₂ и O₃ определяются аналогично. Если точки O₁, O₂ и O₃ не лежат на одной прямой, то треугольник O₁O₂O₃ называют треугольником подобия фигур F₁, F₂ и F₃, а его описанную окружность называют окружностью подобия этих фигур. В случае, когда точки O₁, O₂ и O₃ совпадают, окружность подобия вырождается в центр подобия, а в случае, когда эти точки не совпадают, но лежат на одной прямой, окружность подобия вырождается в ось подобия. В задачах этого параграфа предполагается, что окружность подобия рассматриваемых фигур не вырождена.

19.50^*.

Прямые A₂B₂ и A₃B₃, A₃B₃ и A₁B₁, A₁B₁ и A₂B₂ пересекаются в точках P₁, P₂, P₃ соответственно.

б) Пусть O₁ - центр поворотной гомотетии, переводящей отрезок A₂B₂ в отрезок A₃B₃; точки O₂ и O₃ определяются аналогично. Докажите, что прямые P₁O₁, P₂O₂ и P₃O₃ пересекаются в одной точке, лежащей на окружности подобия отрезков A₁B₁, A₂B₂ и A₃B₃.

Точки A₁ и A₂ называют соответственными точками подобных фигур F₁ и F₂, если при поворотной гомотетии, переводящей F₁ в F₂, точка A₁ переходит в A₂. Аналогично определяются соответственные прямые и отрезки.

19.51^*.

Пусть A₁B₁, A₂B₂ и A₃B₃, а также A₁C₁, A₂C₂ и A₃C₃ - соответственные отрезки подобных фигур F₁, F₂ и F₃. Докажите, что треугольник, образованный прямыми A₁B₁, A₂B₂ и A₃B₃, подобен треугольнику, образованному прямыми A₁C₁, A₂C₂ и A₃C₃, причем центр поворотной гомотетии, переводящей один из этих треугольников в другой, лежит на окружности подобия фигур F₁, F₂ и F₃.

19.52^*.

Пусть l₁, l₂ и l₃ - соответственные прямые подобных фигур F₁, F₂ и F₃, пересекающиеся в точке W.

б) Пусть J₁, J₂ и J₃ - точки пересечения прямых l₁, l₂ и l₃ с окружностью подобия, отличные от точки W. Докажите, что эти точки зависят только от фигур F₁, F₂ и F₃ и не зависят от выбора прямых l₁, l₂ и l₃.

Точки J₁, J₂ и J₃ называют постоянными точками подобных фигур F₁, F₂ и F₃, а треугольник J₁J₂J₃ называют постоянным треугольником.

19.53^*.

Докажите, что постоянный треугольник трех подобных фигур подобен треугольнику, образованному их соответственными прямыми, причем эти треугольники противоположно ориентированы.

19.54^*.

Докажите, что постоянные точки трех подобных фигур являются их соответственными точками.

19.55^*.

Докажите, что окружностью подобия треугольника ABC является окружность с диаметром KO, где K - точка Лемуана, O - центр описанной окружности.

19.56^*.

Пусть O - центр описанной окружности треугольника ABC, K - точка Лемуана, P и Q - точки Брокара, j - угол Брокара. Докажите, что точки P и Q лежат на окружности с диаметром KO, причем OP = OQ и РPOQ = 2j.

19.57^*.

Докажите, что вершинами треугольника Брокара A₁B₁C₁ являются точки пересечения окружности Брокара с прямыми, проходящими через точку Лемуана параллельно сторонам треугольника ABC.

19.58^*.

а) Докажите, что прямые, проходящие через вершины треугольника ABC параллельно сторонам треугольника Брокара A₁B₁C₁ (через A проходит прямая, параллельная B₁C₁, и т. п.), пересекаются в одной точке S (точка Штейнера), причем эта точка лежит на описанной окружности треугольника ABC.

Глава 19. § 6  |	Оглавление |	Глава 19. Задачи для самостоятельного решения

Copyright © 2002 МЦНМО

Внимание! Данное издание содержит опечатки! Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора. Заказ книги: biblio@mccme.ru.