Глава 1. § 4  |	Оглавление |	Глава 1. § 6

§ 5.  Треугольник, образованный основаниями высот

1.53.

Пусть AA₁ и BB₁ — высоты треугольника ABC. Докажите, что DA₁B₁C ~ DABC. Чему равен коэффициент подобия?

1.54.

Из вершины C остроугольного треугольника ABC опущена высота CH, а из точки H опущены перпендикуляры HM и HN на стороны BC и AC соответственно. Докажите, что D MNC ~ DABC.

1.55.

В треугольнике ABC проведены высоты BB₁ и CC₁.

а) Докажите, что касательная в точке A к описанной окружности параллельна прямой B₁C₁.

б) Докажите, что B₁C₁^OA, где O — центр описанной окружности.

1.56.

На сторонах остроугольного треугольника ABC взяты точки A₁, B₁ и C₁ так, что отрезки AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в точке H. Докажите, что AH · A₁H = BH · B₁H = CH · C₁H тогда и только тогда, когда H — точка пересечения высот треугольника ABC.

1.57.

а) Докажите, что высоты AA₁, BB₁ и CC₁ остроугольного треугольника ABC делят углы треугольника A₁B₁C₁ пополам.

б) На сторонах AB, BC и CA остроугольного треугольника ABC взяты точки C₁, A₁ и B₁ соответственно. Докажите, что если РB₁A₁C = РBA₁C₁, РA₁B₁C = РAB₁C₁ и РA₁C₁B = РAC₁B₁, то точки A₁, B₁ и C₁ являются основаниями высот треугольника ABC.

1.58.

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁, BB₁ и CC₁. Докажите, что точка, симметричная A₁ относительно прямой AC, лежит на прямой B₁C₁.

1.59.

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁, BB₁ и CC₁. Докажите, что если A₁B₁||AB и B₁C₁||BC, то A₁C₁||AC.

1.60^*.

Пусть p — полупериметр остроугольного треугольника ABC, q — полупериметр треугольника, образованного основаниями его высот. Докажите, что p : q = R : r, где R и r — радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника ABC.

Глава 1. § 4  |	Оглавление |	Глава 1. § 6

Copyright © 2002 МЦНМО

Внимание! Данное издание содержит опечатки! Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора. Заказ книги: biblio@mccme.ru.