Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. (4-е изд. — Осторожно! В этом издании немало опечаток!)МЦНМО, 2002

Глава 1. § 6  | Оглавление | Глава 1. Решения 
Задачи для самостоятельного решения

1.68.
Основание равнобедренного треугольника составляет четверть его периметра. Из произвольной точки основания проведены прямые, параллельные боковым сторонам. Во сколько раз периметр треугольника больше периметра отсеченного параллелограмма?
1.69.
Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны. Докажите, что произведение длин оснований трапеции равно сумме произведений длин отрезков одной диагонали и длин отрезков другой диагонали, на которые они делятся точкой пересечения.
1.70.
Сторона квадрата равна 1. Через его центр проведена прямая. Вычислите сумму квадратов расстояний от четырех вершин квадрата до этой прямой.
1.71.
Точки A1, B1 и C1 симметричны центру описанной окружности треугольника ABC относительно его сторон. Докажите, что DABC = DA1B1C1.
1.72.
Докажите, что если РBAC = 2РABC, то BC2 = (AC + AB) · AC.
1.73.
На прямой l даны точки A, B, C и D. Через точки A и B, а также через точки C и D проводятся параллельныe прямые. Докажите, что диагонали полученных таким образом параллелограммов (или их продолжения) пересекают прямую l в двух фиксированных точках.
1.74.
В треугольнике ABC проведены биссектриса AD и средняя линия A1C1. Прямые AD и A1C1 пересекаются в точке K. Докажите, что 2A1K = |b – c|.
1.75.
На сторонах AD и CD параллелограмма ABCD взяты точки M и N так, что MN||AC. Докажите, что SABM = SCBN.
1.76.
На диагонали AC параллелограмма ABCD взяты точки P и Q так, что AP = CQ. Точка М такова, что PM||AD и QM||AB. Докажите, что точка M лежит на диагонали BD.
1.77.
Продолжения боковых сторон трапеции с основаниями AD и BC пересекаются в точке O. Концы отрезка EF, параллельного основаниям и проходящего через точку пересечения диагоналей, лежат соответственно на сторонах AB и CD. Докажите, что AE : CF = AO : CO.
1.78.
Три прямые, параллельные сторонам данного треугольника, отсекают от него три треугольника, причем остается равносторонний шестиугольник. Найдите длину стороны шестиугольника, если длины сторон треугольника равны a, b и c.
1.79.
Три прямые, параллельные сторонам треугольника, пересекаются в одной точке, причем стороны треугольника высекают на этих прямых отрезки длиной x. Найдите x, если длины сторон треугольника равны a, b и c.
1.80.
Точка P лежит внутри треугольника ABC, причем РABP = РACP. На прямых AB и AC взяты такие точки C1, и B1, что BC1 : CB1 = CP : BP. Докажите, что одна из диагоналей параллелограмма, две стороны которого лежат на прямых BP и CP, а две другие стороны (или их продолжение) проходят через B1 и C1, параллельна BC.
Глава 1. § 6  | Оглавление | Глава 1. Решения 
Copyright © 2002 МЦНМО Внимание! Данное издание содержит опечатки!
Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора.
Заказ книги: biblio@mccme.ru. 		Rambler's Top100