Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. (4-е изд. — Осторожно! В этом издании немало опечаток!)МЦНМО, 2002
 Глава 21. § 1  |  Оглавление |  Глава 21. § 3

§ 2.  Углы и длины

21.14.
На плоскости дано n попарно непараллельных прямых. Докажите, что угол между некоторыми двумя из них не больше 180°/n.
21.15.
В окружности радиуса 1 проведено несколько хорд. Докажите, что если каждый диаметр пересекает не более k хорд, то сумма длин хорд меньше pk.
21.16.
На плоскости отмечена точка O. Можно ли расположить на плоскости: а) пять кругов; б) четыре круга, не покрывающих точку O, так, чтобы любой луч с началом в точке O пересекал не менее двух кругов? («Пересекает» - имеет общую точку.)
21.17*.
Внутри окружности радиуса n расположено 4n отрезков длиной 1. Докажите, что можно провести прямую, параллельную или перпендикулярную данной прямой l и пересекающую по крайней мере два данных отрезка.
21.18*.
Внутри квадрата со стороной 1 расположено несколько окружностей, сумма длин которых равна 10. Докажите, что найдется прямая, пересекающая по крайней мере четыре из этих окружностей.
21.19*.
На отрезке длиной 1 закрашено несколько отрезков, причем расстояние между любыми двумя закрашенными точками не равно 0,1. Докажите, что сумма длин закрашенных отрезков не превосходит 0,5.
21.20*.
Даны две окружности, длина каждой из которых равна 100 см. На одной из них отмечено 100 точек, а на другой - несколько дуг, сумма длин которых меньше 1 см. Докажите, что эти окружности можно совместить так, чтобы ни одна отмеченная точка не попала на отмеченную дугу.
21.21*.
Даны две одинаковые окружности. На каждой из них отмечено по k дуг, угловые величины каждой из которых меньше
 1
k2 – k + 1
  · 180°

, причем окружности можно совместить так, чтобы отмеченные дуги одной окружности совпали с отмеченными дугами другой. Докажите, что эти окружности можно совместить так, чтобы все отмеченные дуги оказались на неотмеченных местах.
  Глава 21. § 1  |  Оглавление |  Глава 21. § 3
Copyright © 2002 МЦНМО Внимание! Данное издание содержит опечатки!
Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора.
Заказ книги: biblio@mccme.ru. 		Rambler's Top100