Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. (4-е изд. — Осторожно! В этом издании немало опечаток!)МЦНМО, 2002
 Глава 22 |  Оглавление |  Глава 22. § 2

§ 1.  Выпуклые многоугольники

22.1.
На плоскости дано n точек, причем любые четыре из них являются вершинами выпуклого четырехугольника. Докажите, что эти точки являются вершинами выпуклого n-угольника.
22.2.
На плоскости дано пять точек, причем никакие три из них не лежат на одной прямой. Докажите, что четыре из этих точек расположены в вершинах выпуклого четырехугольника.
22.3.
На плоскости дано несколько правильных n-угольников. Докажите, что выпуклая оболочка их вершин имеет не менее n углов.
22.4.
Среди всех таких чисел n, что любой выпуклый 100-угольник можно представить в виде пересечения (т. е. общей части) n треугольников, найдите наименьшее.
22.5.
Назовем выпуклый семиугольник особым, если три его диагонали пересекаются в одной точке. Докажите, что, слегка пошевелив одну из вершин особого семиугольника, можно получить неособый семиугольник.
22.6*.
На плоскости расположены два выпуклых многоугольника F и G. Обозначим через H множество середин отрезков, один конец каждого из которых принадлежит F, а другой G. Докажите, что H - выпуклый многоугольник.
а) Сколько сторон может иметь H, если F и G имеют n1 и n2 сторон соответственно?

б) Каков может быть периметр H, если периметры F и G равны P1 и P2 соответственно?

22.7*.
Докажите, что существует такое число N, что среди любых N точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, можно выбрать 100 точек, являющихся вершинами выпуклого многоугольника.
22.8*.
Выпуклый n-угольник разрезан на треугольники непересекающимися диагоналями. Рассмотрим преобразование такого разбиения, при котором треугольники ABC и ACD заменяются на треугольники ABD и BCD. Пусть P(n) - наименьшее число преобразований, за которое любое разбиение можно перевести в любое другое. Докажите, что: а) P(n) і n – 3; б) P(n) Ј 2n – 7; в) P(n) Ј 2n – 10 при n і 13.

*       *      *


22.9*.
Докажите, что в любом выпуклом многоугольнике, кроме параллелограмма, можно выбрать три стороны, при продолжении которых образуется треугольник, объемлющий данный многоугольник.
22.10*.
Дан выпуклый n-угольник, никакие две стороны которого не параллельны. Докажите, что различных треугольников, о которых идет речь в задаче 22.9, не менее n – 2.
22.11*.
Точка O лежит внутри выпуклого n-угольника A1јAn. Докажите, что среди углов AiOAj не менее n – 1 не острых.
22.12*.
В окружность вписан выпуклый n-угольник A1јAn, причем среди его вершин нет диаметрально противоположных точек. Докажите, что если среди треугольников ApAqAr есть хотя бы один остроугольный, то таких остроугольных треугольников не менее n – 2.
  Глава 22 |  Оглавление |  Глава 22. § 2
Copyright © 2002 МЦНМО Внимание! Данное издание содержит опечатки!
Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора.
Заказ книги: biblio@mccme.ru. 		Rambler's Top100