Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. (4-е изд. — Осторожно! В этом издании немало опечаток!)МЦНМО, 2002
 Глава 22. § 2  |  Оглавление |  Глава 22. Решения 

§ 3.  Невыпуклые многоугольники

22.17.
Верно ли, что любой пятиугольник лежит по одну сторону от не менее чем двух своих сторон?
22.18.
а) Нарисуйте многоугольник и точку O внутри его так, чтобы ни одна сторона не была видна из нее полностью.
б) Нарисуйте многоугольник и точку O вне его так, чтобы ни одна сторона не была видна из нее полностью.

22.19.
Докажите, что если многоугольник таков, что из некоторой точки O виден весь его контур, то из любой точки плоскости полностью видна хотя бы одна его сторона.
22.20.
Докажите, что сумма внешних углов любого многоугольника, прилегающих к меньшим 180° внутренним углам, не меньше 360°.
22.21*.
а) Докажите, что у любого n-угольника (n і 4) есть хотя бы одна диагональ, целиком лежащая внутри его.
б) Выясните, какое наименьшее число таких диагоналей может иметь n-угольник.

22.22*.
Чему равно наибольшее число вершин невыпуклого n-угольника, из которых нельзя провести диагональ?
22.23*.
Докажите, что любой n-угольник можно разрезать на треугольники непересекающимися диагоналями.
22.24*.
Докажите, что сумма внутренних углов любого n-угольника равна (n – 2)180°.
22.25*.
Докажите, что количество треугольников, на которые непересекающиеся диагонали разбивают n-угольник, равно n – 2.
22.26*.
Многоугольник разрезан непересекающимися диагоналями на треугольники. Докажите, что по крайней мере две из этих диагоналей отсекают от него треугольники.
22.27*.
Докажите, что для любого тринадцатиугольника найдется прямая, содержащая ровно одну его сторону, однако при любом n > 13 существует n-угольник, для которого это неверно.
22.28*.
Чему равно наибольшее число острых углов в невыпуклом n-угольнике?
22.29*.
С невыпуклым несамопересекающимся многоугольником производятся следующие операции. Если он лежит по одну сторону от прямой AB, где A и B - несмежные вершины, то одна из частей, на которые контур многоугольника делится точками A и B, отражается относительно середины отрезка AB. Докажите, что после нескольких таких операций многоугольник станет выпуклым.
22.30*.
Числа a1, ј, an, сумма которых равна (n – 2)p, удовлетворяют неравенствам 0 < ai < 2p. Докажите, что существует n-угольник A1јAn с углами a1, ј, an при вершинах A1, јAn.
  Глава 22. § 2  |  Оглавление |  Глава 22. Решения 
Copyright © 2002 МЦНМО Внимание! Данное издание содержит опечатки!
Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора.
Заказ книги: biblio@mccme.ru. 		Rambler's Top100