Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. (4-е изд. — Осторожно! В этом издании немало опечаток!)	МЦНМО, 2002


Глава 23 \|	Оглавление \|	Глава 23. § 2

§ 1. Чет и нечет

23.1.: Может ли прямая пересекать (во внутренних точках) все стороны невыпуклого: а) (2n + 1)-угольника; б) 2n-угольника?

23.2.: На плоскости дана замкнутая ломаная с конечным числом звеньев. Прямая l пересекает ее в 1985 точках. Докажите, что существует прямая, пересекающая эту ломаную более чем в 1985 точках.

23.3.: На плоскости лежат три шайбы A, B и C. Хоккеист бьет по одной из шайб так, чтобы она прошла между двумя другими и остановилась в некоторой точке. Могут ли все шайбы вернуться на свои места после 25 ударов?

23.4.: Можно ли окрасить на клетчатой бумаге 25 клеток так, чтобы у каждой из них было нечетное число окрашенных соседей? (Соседними клетками считаем те, у которых есть общая сторона.)

23.5^*.: Окружность разбита точками на 3k дуг: по k дуг длиной 1, 2 и 3. Докажите, что найдутся две диаметрально противоположные точки деления.

23.6^*.: На плоскости дана несамопересекающаяся замкнутая ломаная, никакие три вершины которой не лежат на одной прямой. Назовем пару несоседних звеньев ломаной особой, если продолжение одного из них пересекает другое. Докажите. что число особых пар четно.

23.7^*. Вершины треугольника помечены цифрами 0, 1 и 2. Этот треугольник разбит на несколько треугольников таким образом, что никакая вершина одного треугольника не лежит на стороне другого. Вершинам исходного треугольника оставлены старые пометки, а дополнительные вершины получают номера 0, 1, 2, причем любая вершина на стороне исходного треугольника должна быть помечена одной из пометок вершин этой стороны (рис. 23.1). Докажите, что существует треугольник разбиения, помеченный цифрами 0, 1, 2 (лемма Шпернера ).

Рис. 23.1

Рис. 23.2

23.8^*.: Вершины правильного 2n-угольника A₁јA_2n разбиты на n пар. Докажите, что если n = 4m + 2 или n = 4m + 3, то две пары вершин являются концами равных отрезков.

Глава 23 \|	Оглавление \|	Глава 23. § 2

Внимание! Данное издание содержит опечатки!
Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора.
Заказ книги: biblio@mccme.ru.