Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. (4-е изд. — Осторожно! В этом издании немало опечаток!)МЦНМО, 2002
 Глава 23. § 2  |  Оглавление |  Глава 23. § 4

§ 3.  Инварианты

23.11.
Дана шахматная доска. Разрешается перекрашивать в другой цвет сразу все клетки какой¯либо горизонтали или вертикали. Может ли при этом получиться доска, у которой ровно одна черная клетка?
23.12.
Дана шахматная доска. Разрешается перекрашивать в другой цвет сразу все клетки, расположенные внутри квадрата размером 2×2. Может ли при этом на доске остаться ровно одна черная клетка?
23.13*.
Дан выпуклый 2m-угольник A1јA2m. Внутри его взята точка P, не лежащая ни на одной из диагоналей. Докажите, что точка P принадлежит четному числу треугольников с вершинами в точках A1, ј, A2m.
23.14*.
В центре каждой клетки шахматной доски стоит по фишке. Фишки переставили так, что попарные расстояния между ними не уменьшились. Докажите, что в действительности попарные расстояния не изменились.
23.15*.
Многоугольник разрезан на несколько многоугольников, причем ни на сторонах исходного многоугольника, ни на сторонах полученных многоугольников не лежат вершины полученных многоугольников. Пусть p - количество полученных многоугольников, q - количество отрезков, являющихся их сторонами, r - количество точек, являющихся их вершинами. Докажите, что p – q + r = 1 (формула Эйлера ).
23.16*.
Квадратное поле разбито на 100 одинаковых квадратных участков, 9 из которых поросли бурьяном. Известно, что бурьян за год распространяется на те и только те участки, у которых не менее двух соседних (т. е. имеющих общую сторону) участков уже поросли бурьяном. Докажите, что поле никогда не зарастет бурьяном полностью.
23.17*.
Докажите, что существуют равновеликие многоугольники, которые нельзя разбить на многоугольники (возможно, невыпуклые), переводящиеся друг в друга параллельным переносом.
23.18*.
Докажите, что выпуклый многоугольник нельзя разрезать на конечное число невыпуклых четырехугольников.
23.19*.
Даны точки A1, ј, An. Рассмотрим окружность радиуса R, содержащую некоторые из них. Построим затем окружность

радиуса R с центром в центре масс точек, лежащих внутри первой окружности, и т. д. Докажите, что этот процесс остановится, т. е. окружности начнут совпадать.

  Глава 23. § 2  |  Оглавление |  Глава 23. § 4
Copyright © 2002 МЦНМО Внимание! Данное издание содержит опечатки!
Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора.
Заказ книги: biblio@mccme.ru. 		Rambler's Top100