| Прасолов В. В. Задачи по планиметрии.
(4-е изд. — Осторожно! В этом издании немало опечаток!) | МЦНМО, 2002 |
|---|
§ 5. Плоскость, разрезанная прямыми
Пусть на плоскости проведено n попарно непараллельных прямых,
никакие три из которых не пересекаются в одной точке. В задачах
25.26-25.30 рассматриваются свойства фигур, на которые эти прямые
разбивают плоскость. При этом фигуру называют n-звенной, если
она ограничена n звеньями (т. е. отрезками или лучами).
-
25.26.
-
Докажите, что при n = 4 среди полученных частей есть четырехугольник.
-
25.27.
-
а) Найдите число всех полученных фигур.
б) Найдите число ограниченных фигур, т. е. многоугольников.
-
25.28.
-
а) Докажите, что при n = 2k среди полученных фигур
не более 2k – 1 углов.
б) Может ли при n = 100 среди полученных фигур быть
только три угла?
-
25.29*.
-
Докажите, что если среди полученных фигур есть
p-звенная и q-звенная, то p + q Ј n + 4.
-
25.30*.
-
Докажите, что при n і 3 среди полученных частей
не менее (2n – 2)/3 треугольников.
Откажемся теперь от предположения, что никакие три из
рассматриваемых прямых не пересекаются в одной точке. Если P
- точка пересечения двух или нескольких прямых, то
количество прямых данной системы, проходящих через точку P,
будем обозначать l(P).
-
25.31*.
-
Докажите, что количество отрезков, на которые
данные прямые разбиты точками их пересечения, равно
.
-
25.32*.
-
Докажите, что количество частей, на которые
данные прямые разбивают плоскость, равно
,
причем среди этих частей 2n неограниченных.
-
25.33*.
-
Части, на которые плоскость разрезана прямыми.
раскрашены в красный и синий цвет так, что соседние части
разного цвета (см. задачу 27.1). Пусть a - количество красных
частей, b - количество синих частей. Докажите, что
|
a Ј 2b – 2 – |
е
| (l(P) – 2), |
|
причем равенство достигается тогда и только тогда, когда
красные области - треугольники и углы.
Глава 25. § 4 | 
