Глава 25. § 7  |	Оглавление |	Глава 25. § 9

§ 8.  Покрытия

25.45^*.

На отрезке длиной 1 расположено несколько отрезков, полностью его покрывающих. Докажите, что можно выбросить некоторые из них так, чтобы оставшиеся по-прежнему покрывали отрезок и сумма их длин не превосходила 2.

25.46^*.

Отрезок длиной 1 покрыт несколькими лежащими на нем отрезками. Докажите, что среди них можно выбрать несколько попарно непересекающихся отрезков, сумма длин которых не меньше 0,5.

25.47^*.

Дан выпуклый пятиугольник, все углы которого тупые. Докажите, что в нем найдутся две такие диагонали, что круги, построенные на них как на диаметрах, полностью покроют весь пятиугольник.

25.48^*.

а) Квадрат со стороной 1 покрыт несколькими меньшими квадратами со сторонами, параллельными его сторонам. Докажите, что среди них можно выбрать непересекающиеся квадраты, сумма площадей которых не меньше 1/9.

25.49^*.

Прожектор освещает угол величиной 90°. Докажите, что в любых четырех заданных точках можно разместить 4 прожектора так, что они осветят всю плоскость.

25.50^*.

Длина проекции фигуры F на любую прямую не превосходит 1. Верно ли, что F можно накрыть кругом диаметра: а) 1; б) 1,5?

25.51^*.

Докажите, что любые n точек на плоскости всегда можно накрыть несколькими непересекающимися кругами так, что сумма их диаметров меньше n и расстояние между любыми двумя из них больше 1.

25.52^*.

На круглом столе радиуса R расположено без наложений n круглых монет радиуса r, причем больше нельзя положить ни одной монеты. Докажите, что R/r Ј 2 Цn + 1.

Глава 25. § 7  |	Оглавление |	Глава 25. § 9

Copyright © 2002 МЦНМО

Внимание! Данное издание содержит опечатки! Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора. Заказ книги: biblio@mccme.ru.