Глава 27. § -1  |	Оглавление |	Глава 28.

27.1.

Доказательство проведем индукцией по общему числу прямых и окружностей. Для одной прямой или окружности утверждение очевидно. Предположим теперь, что можно раскрасить требуемым образом любую карту, заданную n прямыми и окружностями, и покажем, как тогда раскрасить карту, заданную n + 1 прямыми и окружностями. Выбросим одну из этих прямых (или окружностей) и раскрасим карту, заданную оставшимися n прямыми и окружностями. Затем цвета всех частей, лежащих по одну сторону от выброшенной прямой (или окружности), сохраним, а цвета всех частей, лежащих по другую сторону, заменим на противоположные.

27.2.

Докажем индукцией по n, что в выпуклом n-угольнике нельзя выбрать более n сторон или диагоналей так, чтобы любые две из них имели общую точку. При n = 3 это очевидно. Предположим, что утверждение верно для любого выпуклого n-угольника, и докажем его для (n + 1)-угольника. Если из каждой вершины (n + 1)-угольника выходит не более двух выбранных сторон или диагоналей, то их всего выбрано не более n + 1. Поэтому будем считать, что из некоторой вершины A выходят три выбранные стороны или диагонали AB₁, AB₂ и AB₃, причем AB₂ лежит между AB₁ и AB₃. Так как диагональ или сторона, выходящая из точки B₂ и отличная от AB₂ не может одновременно пересекать AB₁ и AB₃, то из B₂ выходит только одна выбранная диагональ. Поэтому можно выбросить точку B₂ вместе с диагональю AB₂ и применить предположение индукции.

27.3.

Ясно, что A₀B = AB. Пусть C_n - точка пересечения прямых EA_n и DC, DC : AB = k, AB = a, A_nB = a_n и A_n + 1B = x. Так как CC_n + 1 : A_nA_n + 1 = DC_n + 1 : BA_n + 1, то kx : (a_n – x) = (ka – kx) : x, т. е. x = aa_n/(a + a_n). Если a_n = a/(n + 1), то x = a/(n + 2).

27.4.

Докажем сначала требуемое утверждение при n = 2. Так как

® A1B1

+

® B1A2

+

® A2A1

=

® 0

, то

(

A1B1

/

A1A2

) + (

A2B1

/

A2A1

) = 1

. Для доказательства шага индукции поступим следующим образом. Фиксируем точки A₁, ј, A_n и B₁, ј, B_n – 2, а точку B_n – 1 будем считать переменной. Рассмотрим функцию

f(Bn – 1) =  n е i = 1       n – 1 Х k = 1  AiBk   Х j № i  AiAj   .

Эта функция линейная, причем по предположению индукции f(B_n – 1) = 1, если B_n – 1 совпадает с одной из точек A₁, ј, A_n. Следовательно, эта функция тождественно равна 1.

27.5.

Доказательство проведем индукцией по n. При n = 3 утверждение очевидно. Предположим, что мы доказали его для n – 1 точки и докажем его для n точек. Если на каждой прямой, проходящей через две данные точки, лежит еще одна данная точка, то все данные точки лежат на одной прямой (см. задачу 20.13). Поэтому существует прямая, на которой лежат ровно две данные точки A и B. Выбросим точку A. Возможны два случая.

2. Оставшиеся точки не лежат на одной прямой. Тогда среди прямых, их соединяющих, по предположению индукции есть не менее n – 1 различных, причем все они отличны от прямой l. Вместе с прямой AB они составляют не менее n прямых.

27.6.

Любому многоугольнику, не содержащему точки A, можно поставить в соответствие многоугольник, содержащий точку A, добавив ее к его вершинам. А вот обратную операцию, т. е. отбрасывание вершины A, можно производить только для n-угольников с n і 4. Поэтому многоугольников, содержащих точку A, больше, чем многоугольников, не содержащих точки A, причем больше на число треугольников с вершиной A, т. е. на (n – 1)(n – 2)/2.

27.7.

Первую точку можно выбрать десятью способами. Каждую из следующих восьми точек можно выбрать двумя способами, так как она должна быть соседней с одной из ранее выбранных точек (иначе получится самопересекающаяся ломаная). Поскольку начало и конец при таком подсчете не различаются, результат нужно разделить на 2. Следовательно, всего имеется 10 · 2⁸/2 = 1280 ломаных.

27.8.

Любая точка пересечения диагоналей определяет две диагонали, пересечением которых она является, а концы этих диагоналей определяют выпуклый четырехугольник. Обратно, любые четыре вершины многоугольника определяют одну точку пересечения диагоналей. Поэтому число точек пересечения диагоналей равно числу способов выбора четырех точек из n, т. е. равно

n(n – 1)(n – 2)(n – 3) 2 · 3 · 4

.

27.9.

Будем поочередно проводить диагонали. Когда мы проводим очередную диагональ, число частей, на которые проведенные ранее диагонали делят многоугольник, увеличивается на m + 1, где m - число точек пересечения новой диагонали с ранее проведенными, т. е. каждая новая диагональ и каждая новая точка пересечения диагоналей увеличивают число частей на 1. Поэтому общее число частей, на которые диагонали делят n-угольник, равно D + P + 1, где D - число диагоналей, P - число точек пересечения диагоналей. Ясно, что D = n(n – 3)/2. Согласно предыдущей задаче P = n(n – 1)(n – 2)(n – 3)/24.

27.10.

Если выбрать любые пять точек, то существует выпуклый четырехугольник с вершинами в них (задача 22.2). Остается заметить, что четверку точек можно дополнить до пятерки n – 4 различными способами.

27.11.

Пусть всего имеется N неравных треугольников с вершинами в  вершинах правильного n-угольника, причем из них N₁ правильных, N₂ неправильных равнобедренных и N₃ разносторонних. Каждый правильный треугольник равен одному треугольнику с  фиксированной вершиной A, неправильный равнобедренный - трем треугольникам с вершиной A, а разносторонний - шести. Так как всего имеется (n – 1)(n – 2)/2 треугольников с  вершиной A, то (n – 1)(n – 2)/2 = N₁ + 3N₂ + 6N₃.

Глава 27. § -1  |	Оглавление |	Глава 28.

Copyright © 2002 МЦНМО

Внимание! Данное издание содержит опечатки! Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора. Заказ книги: biblio@mccme.ru.