Глава 27. Решения  |	Оглавление |	Глава 28. § 1

Глава 28.
Инверсия

Основные сведения

1. Все геометрические преобразования, с которыми нам приходилось встречаться в этой книге, переводили прямые в прямые, а окружности в окружности. Инверсия - это преобразование другого типа, которое также сохраняет класс прямых и окружностей, но может прямую перевести в окружность, а окружность - в прямую. На этом и других замечательных свойствах инверсии основывается ее поразительная эффективность при решении разнообразных геометрических задач.

2. Определение. Пусть на плоскости дана окружность S с центром O и радиусом R. Инверсией относительно окружности S называют преобразование, переводящее произвольную точку A, отличную от O, в точку A^*, лежащую на луче OA на расстоянии OA^* = R²/OA от точки O. Инверсию относительно S будем также называть инверсией с  центром O и степенью  R², а окружность S - окружностью инверсии.

3. Непосредственно из определения инверсии видно, что точки окружности S она оставляет на месте, точки, лежащие внутри S, переводит наружу, а точки, лежащие вне S, - внутрь S. Если точка A переходит при инверсии в A^*, то точку A^* эта инверсия переводит в A, т. е. (A^*)^* = A. Образом прямой, проходящей через центр инверсии, является сама эта прямая.

В этом месте надо сделать оговорку, связанную с тем, что инверсия не является в строгом смысле слова преобразованием плоскости, так как точка O никуда не переходит. Поэтому формально мы не имеем права говорить об «образе прямой, проходящей через точку O», а должны рассматривать объединение двух лучей, получающихся из прямой выбрасыванием точки O. Аналогично обстоит дело и с окружностями, содержащими точку O. Мы, тем не менее, будем придерживаться этих нестрогих, но зато более наглядных формулировок, надеясь, что читатель легко восстановит точный смысл.

4. Всюду в этой главе образ точки A при инверсии обозначается через A^*.

5. Сформулируем важнейшие свойства инверсии, постоянно использующиеся при решении задач.

При инверсии с центром O:

а) прямая l, не содержащая O, переходит в окружность, проходящую через O (задача 28.2);

б) окружность с центром C, проходящая через O, переходит в прямую, перпендикулярную OC (задача 28.3);

в) окружность, не проходящая через O, переходит в окружность, не проходящую через O) (задача 28.3);

г) касание окружностей и прямых сохраняется, если только точка касания не совпадает с центром инверсии; в последнем случае получается пара параллельных прямых (задача 28.4);

д) величина угла между двумя окружностями (или между окружностью и прямой, или между двумя прямыми) сохраняется (задача 28.5).

Глава 27. Решения  |	Оглавление |	Глава 28. § 1

Copyright © 2002 МЦНМО

Внимание! Данное издание содержит опечатки! Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора. Заказ книги: biblio@mccme.ru.