Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. (4-е изд. — Осторожно! В этом издании немало опечаток!)МЦНМО, 2002
 Глава 28. § 3  |  Оглавление |  Глава 28. § 5

§ 4.  Сделаем инверсию

28.22.
В сегмент вписываются всевозможные пары касающихся окружностей (рис. 28.1). Найдите множество их точек касания.

Рис. 28.1

28.23.
Найдите множество точек касания пар окружностей, касающихся сторон данного угла в данных точках A и B.
28.24.
Докажите, что инверсия с центром в вершине A равнобедренного треугольника ABC (AB = AC) и степенью AB2 переводит основание BC треугольника в дугу BC описанной окружности.
28.25*.
В сегмент вписываются всевозможные пары пересекающихся окружностей, и для каждой пары через точки их пересечения проводится прямая. Докажите, что все эти прямые проходят через одну точку (см. задачу 3.44).
28.26*.
Никакие три из четырех точек A, B, C, D не лежат на одной прямой. Докажите, что угол между описанными окружностями треугольников ABC и ABD равен углу между описанными окружностями треугольников ACD и BCD.
28.27*.
Через точки A и B проведены окружности S1 и S2, касающиеся окружности S, и окружность S3, перпендикулярная S. Докажите, что S3 образует равные углы с окружностями S1 и S2.
28.28*.
Две окружности, пересекающиеся в точке A, касаются окружности (или прямой) S1 в точках B1 и C1, а окружности (или прямой) S2 в точках B2 и C2 (причем касание в B2 и C2 такое же, как в B1 и C1). Докажите, что окружности, описанные вокруг треугольников AB1C1 и AB2C2, касаются друг друга.
28.29*.
Окружность SA проходит через точки A и C; окружность SB проходит через точки B и C; центры обеих окружностей лежат на прямой AB. Окружность S касается окружностей SA и SB, а кроме того, она касается отрезка AB в точке C1. Докажите, что CC1 - биссектриса треугольника ABC.
28.30*.
а) Докажите, что окружность, проходящая через середины сторон треугольника, касается его вписанной и трех вневписанных окружностей (Фейербах).
б) На сторонах AB и AC треугольника ABC взяты точки C1 и B1 так, что AC1 = B1C1 и вписанная окружность S треугольника ABC является вневписанной окружностью треугольника AB1C1. Докажите, что вписанная окружность треугольника AB1C1 касается окружности, проходящей через середины сторон треугольника ABC.

  Глава 28. § 3  |  Оглавление |  Глава 28. § 5
Copyright © 2002 МЦНМО Внимание! Данное издание содержит опечатки!
Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора.
Заказ книги: biblio@mccme.ru. 		Rambler's Top100