Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. (4-е изд. — Осторожно! В этом издании немало опечаток!)МЦНМО, 2002
 Глава 29. § 1  |  Оглавление |  Глава 29. § 3

§ 2.  Решение задач
при помощи аффинных преобразований

29.14.
Через каждую вершину треугольника проведены две прямые, делящие противоположную сторону треугольника на три равные части. Докажите, что диагонали, соединяющие противоположные вершины шестиугольника, образованного этими прямыми, пересекаются в одной точке.
29.15.
На сторонах AB, BC и CD параллелограмма ABCD взяты точки K, L и M соответственно, делящие эти стороны в одинаковых отношениях. Пусть b, c, d - прямые, проходящие через B, C, D параллельно прямым KL, KM, ML соответственно. Докажите, что прямые b, c, d проходят через одну точку.
29.16.
Дан треугольник ABC. Пусть O - точка пересечения его медиан, а M, N и P - точки сторон AB, BC и CA, делящие эти стороны в одинаковых отношениях (т. е. AM : MB = BN : NC = CP : PA = p : q). Докажите, что:
а) O - точка пересечения медиан треугольника MNP;

б) O - точка пересечения медиан треугольника, образованного прямыми AN, BP и CM.

29.17.
В трапеции ABCD с основаниями AD и BC через точку B проведена прямая, параллельная стороне CD и  пересекающая диагональ AC в точке P, а через точку C - прямая, параллельная стороне AB и пересекающая диагональ BD в точке Q. Докажите, что прямая PQ параллельна основаниям трапеции.
29.18.
В параллелограмме ABCD точки A1, B1, C1, D1, лежат соответственно на сторонах AB, BC, CD, DA. На сторонах A1B1, B1C1, C1D1, D1A1 четырехугольника A1B1C1D1 взяты соответственно точки A2, B2, C2, D2. Известно, что
 AA1
BA1
  =   BB1
CB1
  =   CC1
DC1
  =   DD1
AD1
  =   A1D2
D1D2
  =   D1C2
C1C2
  =   C1B2
B1B2
  =   B1A2
A1A2
 .
Докажите, что A2B2C2D2 - параллелограмм со сторонами, параллельными сторонам ABCD.

29.19.
На сторонах AB, BC и AC треугольника ABC даны точки M, N и P соответственно. Докажите:
а) если точки M1, N1 и P1 симметричны точкам M, N и P относительно середин соответствующих сторон, то SMNP = SM1N1P1.

б) если M1, N1 и P1 - такие точки сторон AC, BA и CB, что MM1||BC, NN1||CA и PP1||AB, то SMNP = SM1N1P1.

  Глава 29. § 1  |  Оглавление |  Глава 29. § 3
Copyright © 2002 МЦНМО Внимание! Данное издание содержит опечатки!
Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора.
Заказ книги: biblio@mccme.ru. 		Rambler's Top100