Глава 2. § 1  |	Оглавление |	Глава 2. § 3

§ 2.  Величина угла между двумя хордами

Решить задачи этого параграфа помогает следующий факт. Пусть A,B,C,D- точки на окружности в указанном порядке. Тогда угол между хордами AC и BD равен (ИAB + ИCD)/2, угол между хордами AB и CD равен |ИAD – ИCB|/2. (Для доказательства нужно через конец одной из хорд провести хорду, параллельную другой хорде.)

2.14.

На окружности даны точки A,B,C,D в указанном порядке.  M- середина дуги AB. Обозначим точки пересечения хорд MC и MD с хордой AB через E и K. Докажите, что KECD- вписанный четырехугольник.

2.15.

По стороне правильного треугольника катится окружность радиуса, равного его высоте. Докажите, что угловая величина дуги, высекаемой на окружности сторонами треугольника, всегда равна 60°.

2.16.

Диагонали равнобедренной трапеции ABCD с боковой стороной AB пересекаются в точке P. Докажите, что центр O ее описанной окружности лежит на описанной окружности треугольника APB.

2.17.

На окружности даны точки A,B,C,D в указанном порядке;  A₁,B₁,C₁ и D₁- середины дуг AB,BC,CD и DA соответственно. Докажите, что A₁C₁^B₁D₁.

2.18.

Внутри треугольника ABC взята точка P так, что  РBPC = РA + 60°, РAPC = РB + 60° и РAPB = РC + 60°. Прямые AP,BP и CP пересекают описанную окружность треугольника ABC в точках Aў,Bў и Cў. Докажите, что треугольник AўBўCў правильный.

2.19.

На окружности взяты точки A,C₁,B,A₁,C,B₁ в указанном порядке.

а) Докажите, что если прямые AA₁,BB₁ и CC₁ являются биссектрисами углов треугольника ABC, то они являются высотами треугольника A₁B₁C₁.

б) Докажите, что если прямые AA₁,BB₁ и CC₁ являются высотами треугольника ABC, то они являются биссектрисами углов треугольника A₁B₁C₁.

2.20.

В окружность вписаны треугольники T₁ и T₂, причем вершины треугольника T₂ являются серединами дуг, на которые окружность разбивается вершинами треугольника T₁. Докажите, что в шестиугольнике, являющемся пересечением треугольников T₁ и T₂, диагонали, соединяющие противоположные вершины, параллельны сторонам треугольника T₁ и пересекаются в одной точке.

Глава 2. § 1  |	Оглавление |	Глава 2. § 3

Copyright © 2002 МЦНМО

Внимание! Данное издание содержит опечатки! Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора. Заказ книги: biblio@mccme.ru.