Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. (4-е изд. — Осторожно! В этом издании немало опечаток!)МЦНМО, 2002
 Глава 2. § 2  |  Оглавление |  Глава 2. § 4

§ 3.  Угол между касательной и хордой

2.21.
Две окружности пересекаются в точках P и Q. Через точку A первой окружности проведены прямые AP и AQ, пересекающие вторую окружность в точках B и C. Докажите, что касательная в точке A к первой окружности параллельна прямой BC.
2.22.
Окружности S1 и S2 пересекаются в точках A и P. Через точку A проведена касательная AB к окружности S1, а через точку P- прямая CD, параллельная AB (точки B и C лежат на S2, точка D- на S1). Докажите, что ABCD- параллелограмм.
2.23.
Окружности S1 и S2 пересекаются в точках A и B. Через точку A проведена касательная AQ к окружности S1 (точка Q лежит на S2), а через точку B - касательная BS к окружности S2 (точка S лежит на S1). Прямые BQ и AS пересекают окружности S1 и S2 в точках R и P. Докажите, что PQRS - параллелограмм.
2.24.
Касательная в точке A к описанной окружности треугольника ABC пересекает прямую BC в точке E;  AD- биссектриса треугольника ABC. Докажите, что AE = ED.
2.25.
Окружности S1 и S2 пересекаются в точке A. Через точку A проведена прямая, пересекающая S1 в точке B,  S2 в точке C. В точках C и B проведены касательные к окружностям, пересекающиеся в точке D. Докажите, что угол BDC не зависит от выбора прямой, проходящей через A.
2.26.
Две окружности пересекаются в точках A и B. Из точки A к этим окружностям проведены касательные AM и AN (M и N- точки окружностей). Докажите, что:

а)  РABN + РMAN = 180°;

б)  BM/BN = (AM/AN)2.

2.27.
Две окружности касаются внутренним образом в точке M. Пусть AB- хорда большей окружности, касающаяся меньшей окружности в точке T. Докажите, что MT- биссектриса угла AMB.
2.28.
Через точку M, лежащую внутри окружности S, проведена хорда AB; из точки M опущены перпендикуляры MP и MQ на касательные, проходящие через точки A и B. Докажите, что величина 1/PM + 1/QM не зависит от выбора хорды, проходящей через точку M.
2.29.
Окружность S1 касается сторон угла ABC в точках A и C. Окружность S2 касается прямой AC в точке C и проходит через точку B, окружность S1 она пересекает в точке M. Докажите, что прямая AM делит отрезок BC пополам.
2.30.
Окружность S касается окружностей S1 и S2 в точках A1 и A2;  B- точка окружности S, а K1 и K2- вторые точки пересечения прямых A1B и A2B с окружностями S1 и S2. Докажите, что если прямая K1K2 касается окружности S1, то она касается и окружности S2.
  Глава 2. § 2  |  Оглавление |  Глава 2. § 4
Copyright © 2002 МЦНМО Внимание! Данное издание содержит опечатки!
Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора.
Заказ книги: biblio@mccme.ru. 		Rambler's Top100