Глава 2. § 8  |	Оглавление |	Глава 2. § 10

§ 9.  Три описанные окружности пересекаются в одной точке

2.80.

На сторонах треугольника ABC внешним образом построены треугольники ABCў,ABўC и AўBC, причем сумма углов при вершинах Aў,Bў и Cў кратна 180°. Докажите, что описанные окружности построенных треугольников пересекаются в одной точке.

2.81.

а) На сторонах BC,CA и AB треугольника ABC (или на их продолжениях) взяты точки A₁,B₁ и C₁, отличные от вершин треугольника. Докажите, что описанные окружности треугольников AB₁C₁,A₁BC₁ и A₁B₁C пересекаются в одной точке.

б) Точки A₁,B₁ и C₁ перемещаются по прямым BC,CA и AB так, что все треугольники A₁B₁C₁ подобны одному и тому же треугольнику. Докажите, что точка пересечения описанных окружностей треугольников AB₁C₁,A₁BC₁ и A₁B₁C остается при этом неподвижной. (Треугольники предполагаются не только подобными, но и одинаково ориентированными.)

2.82.

Внутри треугольника ABC взята точка X. Прямые AX, BX и CX пересекают стороны треугольника в точках A₁, B₁ и C₁. Докажите, что если описанные окружности треугольников AB₁C₁, A₁BC₁ и A₁B₁C пересекаются в точке X, то X - точка пересечения высот треугольника ABC.

2.83^*.

На сторонах BC,CA и AB треугольника ABC взяты точки A₁,B₁ и C₁. Докажите, что если треугольники A₁B₁C₁ и ABC подобны и противоположно ориентированы, то описанные окружности треугольников AB₁C₁,A₁BC₁ и A₁B₁C проходят через центр описанной окружности треугольника ABC.

2.84^*.

Точки Aў,Bў и Cў симметричны некоторой точке P относительно сторон BC,CA и AB треугольника ABC.

а) Докажите, что описанные окружности треугольников ABўCў, AўBCў, AўBўC и ABC имеют общую точку.

б) Докажите, что описанные окружности треугольников AўBC, ABўC, ABCў и AўBўCў имеют общую точку Q.

в) Пусть I,J,K и O- центры описанных окружностей треугольников AўBC,ABўC,ABCў и AўBўCў. Докажите, что QI :  OI = QJ : OJ = QK : OK.

См. также задачи 28.33, 28.37.

Глава 2. § 8  |	Оглавление |	Глава 2. § 10

Copyright © 2002 МЦНМО

Внимание! Данное издание содержит опечатки! Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора. Заказ книги: biblio@mccme.ru.