Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. (4-е изд. — Осторожно! В этом издании немало опечаток!)МЦНМО, 2002
 Глава 2. § 11  |  Оглавление |  Глава 2. Решения 
Задачи для самостоятельного решения

2.97.
В треугольнике ABC проведены высоты AA1 и BB1;  M- середина стороны AB. Докажите, что MA1 = MB1.
2.98.
В выпуклом четырехугольнике ABCD углы A и C прямые. Докажите, что AC = BD · sin ABC.

2.99.
Диагонали AD,BE и CF вписанного шестиугольника ABCDEF пересекаются в одной точке. Докажите, что AB · CD · EF = BC · DE · AF.
2.100.
В выпуклом четырехугольнике AB = BC = CD,  M- точка пересечения диагоналей,  K- точка пересечения биссектрис углов A и D. Докажите, что точки A,M,K и D лежат на одной окружности.
2.101.
Окружности с центрами O1 и O2 пересекаются в точках A и B. Прямая O1A пересекает окружность с центром O2 в точке N. Докажите, что точки O1,O2,B и N лежат на одной окружности.
2.102.
Окружности S1 и S2 пересекаются в точках A и B. Прямая MN касается окружности S1 в точке M и окружности S2 в точке N. Пусть A- та из точек пересечения окружностей, которая более удалена от прямой MN. Докажите, что РO1AO2 = 2РMAN.
2.103.
Дан четырехугольник ABCD, вписанный в окружность, причем AB = BC. Докажите, что 
SABCD =   1
2
 (DA + CD) · hb

, где hb- высота треугольника ABD, опущенная из вершины B.
2.104.
Четырехугольник ABCD вписанный, причем AC- биссектриса угла DAB. Докажите, что AC · BD = AD · DC + AB · BC.
2.105.
В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого угла C проведены биссектриса CM и высота CH.  HD и HE- биссектрисы треугольников AHC и CHB. Докажите, что точки C,D,H,E и M лежат на одной окружности.
2.106.
Две окружности проходят через вершину угла и точку его биссектрисы. Докажите, что отрезки, высекаемые ими на сторонах угла, равны.
2.107.
Треугольник BHC, где H- ортоцентр треугольника ABC, достроен до параллелограмма BHCD. Докажите, что РBAD = РCAH.
2.108.
Вне правильного треугольника ABC, но внутри угла BAC взята точка M так, что РCMA = 30° и РBMA = a. Чему равен угол ABM?
2.109.
Докажите, что если вписанный четырехугольник с перпендикулярными диагоналями является также и описанным, то он симметричен относительно одной из диагоналей.
  Глава 2. § 11  |  Оглавление |  Глава 2. Решения 
Copyright © 2002 МЦНМО Внимание! Данное издание содержит опечатки!
Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора.
Заказ книги: biblio@mccme.ru. 		Rambler's Top100