Глава 30 |	Оглавление |	Глава 30. § 2

§ 1.  Проективные преобразования прямой

Определение. 1. Пусть l₁ и l₂ - две прямые на плоскости, O - точка, не лежащая ни на одной из этих прямых. Центральным проектированием прямой l₁ на прямую l₂ с центром O называют отображение, которое точке A₁ прямой l₁ ставит в соответствие точку пересечения прямой OA₁ с прямой l₂.

2. Пусть l₁ и l₂ - две прямые на плоскости, l - прямая, не параллельная ни одной из этих прямых. Параллельным проектированием прямой l₁ на прямую l₂ вдоль прямой l называют отображение, которое точке A₁ прямой l₁ ставит в соответствие точку пересечения прямой l₂ с прямой, проходящей через точку A₁ параллельно прямой l.

3. Отображение P прямой a на прямую b называют проективным, если оно является композицией центральных или параллельных проектирований, т. е. если существуют прямые a₀ = a, a₁, ј, a_n = b и отображения P_i прямых a_i на a_i + 1, каждое из которых является либо центральным, либо параллельным проектированием, причем P является композицией преобразований P_i. В случае, когда прямая b совпадает с прямой a, отображение P называют проективным преобразованием прямой a.

30.1^*.

Докажите, что существует проективное отображение, которое три данные точки одной прямой переводит в три данные точки другой прямой.

Определение. Двойным отношением четверки прямых a, b, c, d, проходящих через одну точку, называют число

(abcd) = ±  sin (a, c) sin (b, c)  :   sin (a, d) sin (b, d) ,

знак которого выбирается следующим образом: если один из углов, образованных прямыми a и b, не пересекается ни с одной из прямых c или d (в этом случае говорят, что пара прямых a и b не разделяет пару прямых c и d), то (abcd) > 0; в противном случае (abcd) < 0.

30.2^*.

а) Даны прямые a, b, c, d, проходящие через одну точку, и прямая l, через эту точку не проходящая. Пусть A, B, C, D - точки пересечения прямой l с прямыми a, b, c, d соответственно. Докажите, что (abcd) = (ABCD).

30.3^*.

Докажите, что если (ABCX) = (ABCY), то X = Y (все точки попарно различны, кроме, быть может, точек X и Y, и лежат на одной прямой).

30.4^*.

Докажите, что проективное преобразование прямой однозначно определяется образами трех произвольных точек.

30.5^*.

Докажите, что нетождественное проективное преобразование прямой имеет не более двух неподвижных точек.

30.6^*.

Дано отображение прямой a на прямую b, сохраняющее двойное отношение любой четверки точек. Докажите, что это отображение проективно.

30.7^*.

Докажите, что преобразование P числовой прямой является проективным тогда и только тогда, когда оно представляется в виде

P(x) =   ax + b cx + d ,

где a, b, c, d - такие числа, что ad – bc № 0. (Такие отображения называют дробно¯линейными.)

30.8^*.

Точки A, B, C, D лежат на одной прямой. Докажите, что если (ABCD) = 1, то либо A = B, либо C = D.

30.9^*.

Даны прямая l, окружность и точки M, N, лежащие на окружности и не лежащие на прямой l. Рассмотрим отображение P прямой l на себя, являющееся композицией проектирования прямой l на данную окружность из точки M и проектирования окружности на прямую l из точки N. (Если точка X лежит на прямой l, то P(X) есть пересечение прямой NY с прямой l, где Y - отличная от M точка пересечения прямой MX с данной окружностью.) Докажите, что преобразование P проективно.

30.10^*.

Даны прямая l, окружность и точка M, лежащая на окружности и не лежащая на прямой l. Пусть P_M - проектирование  прямой  l  на  данную  окружность  из  точки  M (точка X прямой отображается в отличную от M точку пересечения прямой XM с окружностью), R - движение плоскости, сохраняющее данную окружность (т. е. поворот плоскости вокруг центра окружности или симметрия относительно диаметра). Докажите, что композиция P_M ^– 1°R°P_M является проективным преобразованием.

Глава 30 |	Оглавление |	Глава 30. § 2

Copyright © 2002 МЦНМО

Внимание! Данное издание содержит опечатки! Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора. Заказ книги: biblio@mccme.ru.