Глава 30. § 1  |	Оглавление |	Глава 30. § 3

§ 2.  Проективные преобразования плоскости

Определение. Пусть a₁ и a₂ - две плоскости в пространстве, O - точка, не лежащая ни на одной из этих плоскостей. Центральным проектированием плоскости a₁ на плоскость a₂ с центром O называют отображение, которое точке A₁ плоскости a₁ ставит в соответствие точку пересечения прямой OA₁ с плоскостью a₂.

30.11^*.

Докажите, что если плоскости a₁ и a₂ пересекаются, то центральное проектирование a₁ на a₂ с центром O задает взаимно однозначное отображение плоскости a₁ с выкинутой прямой l₁ на плоскость a₂ с выкинутой прямой l₂, где l₁ и l₂ - прямые пересечения плоскостей a₁ и a₂ соответственно с плоскостями, проходящими через O и параллельными a₂ и a₁. При этом на l₁ отображение не определено.

30.12^*.

Докажите, что при центральном проектировании прямая, не являющаяся исключительной, проецируется в прямую.

Для того чтобы центральное проектирование было определено всюду, удобно считать, что на каждой прямой помимо обычных точек имеется еще одна точка, называемая бесконечно удаленной. При этом если две прямые параллельны, то их бесконечно удаленные точки совпадают, другими словами, параллельные прямые пересекаются в бесконечно удаленной точке.

Мы также будем считать, что на каждой плоскости помимо обычных прямых имеется еще бесконечно удаленная прямая, на которой лежат все бесконечно удаленные точки прямых данной плоскости. Бесконечно удаленная прямая пересекается с каждой обычной прямой l, лежащей на той же плоскости, в бесконечно удаленной точке прямой l.

Если ввести бесконечно удаленные точки и прямые, то центральное проектирование плоскости a₁ на плоскость a₂ с центром в точке O будет определено для всех точек плоскости a₁. При этом исключительная прямая будет проецироваться в бесконечно удаленную прямую плоскости a₂, а именно, образом точки M исключительной прямой будет бесконечно удаленная точка прямой OM; в этой точке пересекаются прямые плоскости a₂, параллельные прямой OM.

30.13^*.

Докажите, что если наряду с обычными точками и прямыми рассматривать бесконечно удаленные, то

б) любые две прямые, лежащие в одной плоскости, пересекаются в единственной точке;

в) центральное проектирование одной плоскости на другую является взаимно однозначным отображением.

Определение. Отображение P плоскости a на плоскость b называют проективным, если оно является композицией центральных проектирований и аффинных преобразований, т. е. если существуют плоскости a₀ = a, a₁, ј, a_n = b и отображения P_i плоскостей a_i на a_i + 1, каждое из которых является либо центральным проектированием, либо аффинным преобразованием, причем P является композицией преобразований P_i. В случае, когда плоскость a совпадает с плоскостью b, отображение P называют проективным преобразованием плоскости a. Прообраз бесконечно удаленной прямой мы будем называть исключительной прямой данного проективного преобразования.

30.14^*.

а) Докажите, что проективное преобразование P плоскости, переводящее бесконечно удаленную прямую в бесконечно удаленную прямую, является аффинным.

в) Докажите, что если проективное преобразование P переводит параллельные прямые l₁ и l₂ в параллельные прямые, то либо P аффинно, либо его исключительная прямая параллельна прямым l₁ и l₂.

г) Пусть P - взаимно однозначное преобразование множества всех конечных и бесконечных точек плоскости, которое каждую прямую переводит в прямую. Докажите, что P проективно.

30.15.

Даны точки A, B, C, D, никакие три из которых не лежат на одной прямой, и точки A₁, B₁, C₁, D₁, удовлетворяющие тому же условию.

б) Докажите, что преобразование задачи а) единственно, т. е. проективное преобразование плоскости определяется образами четырех точек в общем положении (ср. с задачей 30.4).

в) Докажите утверждение задачи а), если точки A, B, C лежат на одной прямой l, а точки A₁, B₁, C₁ - на одной прямой l₁.

г) Единственно ли преобразование задачи в)?

Рассмотрим в пространстве единичную сферу с центром в начале координат. Пусть N(0, 0, 1) - ее северный полюс. Стереографической проекцией сферы на плоскость называют отображение, которое каждой точке M сферы сопоставляет отличную от N точку пересечения прямой MN с плоскостью Oxy. Известно (см. например, задачу 16.19, б) в книге: В. В. Прасолов, И. Ф. Шарыгин Задачи по стереометрии. - М.: Наука, 1989), что при стереографической проекции окружность на сфере переходит в окружность на плоскости. Воспользуйтесь этим фактом при решении следующих двух задач:

30.16^*.

а) Докажите, что существует проективное преобразование, которое данную окружность переводит в окружность, а данную точку, лежащую внутри окружности, переводит в центр образа.

30.17^*.

На плоскости дана окружность и не пересекающая ее прямая. Докажите, что существует проективное преобразование, переводящее данную окружность в окружность, а данную прямую - в бесконечно удаленную прямую.

30.18^*.

Докажите, что существует проективное преобразование, которое данную окружность переводит в окружность, а данную хорду - в ее диаметр.

30.19^*.

Дана окружность S и точка O внутри ее. Рассмотрим все проективные преобразования, которые S отображают в окружность, а O - в ее центр. Докажите, что все такие преобразования отображают на бесконечность одну и ту же прямую.

30.20^*.

Проективное преобразование некоторую окружность переводит в себя, а ее центр оставляет на месте. Докажите, что это - поворот или симметрия.

30.21^*.

Даны две параллельные прямые a, b и точка O. Тогда для каждой точки M можно выполнить следующее построение. Проведем через M произвольную прямую l, не проходящую через O и пересекающую прямые a и b. Точки пересечения обозначим соответственно через A и B, и пусть Mў - точка пересечения прямой OM с прямой, параллельной OB и проходящей через A.

Рис. 30.1

а) Докажите, что точка Mў не зависит от выбора прямой l.

б) Докажите, что преобразование плоскости, переводящее точку M в точку Mў, является проективным.

30.22^*.

Докажите, что преобразование координатной плоскости, которое каждую точку с координатами (x, y) отображает в точку с координатами

ж и

1 x

,

y x

ц ш

, является проективным.

30.23^*.

Пусть O - центр линзы, p - некоторая плоскость, проходящая через ее оптическую ось a и f - прямые пересечения плоскости p с плоскостью линзы и с фокальной плоскостью соответственно (a||f). В школьном курсе физики показано, что если пренебречь толщиной линзы, то изображение Mў точки M, лежащей в плоскости p, строится следующим образом (рис. 30.1). Проведем через точку M произвольную прямую l; пусть A - точка пересечения прямых a и l, B - точка пересечения прямой f с прямой, проходящей через O параллельно l. Тогда Mў есть точка пересечения прямых AB и OM. Докажите, что преобразование плоскости p, сопоставляющее каждой точке ее изображение, является проективным.

Глава 30. § 1  |	Оглавление |	Глава 30. § 3

Copyright © 2002 МЦНМО

Внимание! Данное издание содержит опечатки! Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора. Заказ книги: biblio@mccme.ru.