Глава 30. § 2  |	Оглавление |	Глава 30. § 4

§ 3.  Переведем данную прямую на бесконечность

30.24^*.

Докажите, что геометрическое место точек пересечения диагоналей четырехугольников ABCD, у которых стороны AB и CD лежат на двух данных прямых l₁ и l₂, а стороны BC и AD пересекаются в данной точке P, является прямой, проходящей через точку Q пересечения прямых l₁ и l₂.

30.25^*.

Пусть O - точка пересечения диагоналей четырехугольника ABCD, а E, F - точки пересечения продолжений сторон AB и CD, BC и AD соответственно. Прямая EO пересекает стороны AD и BC в точках K и L, а прямая FO пересекает стороны AB и CD в  точках M и N. Докажите, что точка X пересечения прямых KN и LM лежит на прямой EF.

30.26^*.

Прямые a, b, c пересекаются в одной точке O. В треугольниках A₁B₁C₁ и A₂B₂C₂ вершины A₁ и A₂ лежат на прямой a; B₁ и B₂ - на прямой b; C₁ и C₂ - на прямой c. A, B, C - точки пересечения прямых B₁C₁ и B₂C₂, C₁A₁ и C₂A₂, A₁B₁ и A₂B₂ соответственно. Докажите, что точки A, B, C лежат на одной прямой (Дезарг).

30.27^*.

Точки A, B, C лежат на прямой l, а точки A₁, B₁, C₁ - на прямой l₁. Докажите, что точки пересечения прямых AB₁ и BA₁, BC₁ и CB₁, CA₁ и AC₁ лежат на одной прямой (Папп).

30.28^*.

Дан выпуклый четырехугольник ABCD. Пусть P, Q - точки пересечения продолжений противоположных сторон AB и CD, AD и BC соответственно, R - произвольная точка внутри четырехугольника. Пусть K - точка пересечения прямых BC и PR, L - точка пересечения прямых AB и QR, M - точка пересечения прямых AK и DR. Докажите, что точки L, M и C лежат на одной прямой.

30.29^*.

Даны два треугольника ABC и A₁B₁C₁. Известно, что прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке O, и прямые AB₁, BC₁ и CA₁ пересекаются в одной точке O₁. Докажите, что прямые AC₁, BA₁ и CB₁ тоже пересекаются в одной точке O₂ (теорема о дважды перспективных треугольниках ).

30.30^*.

Даны два треугольника ABC и A₁B₁C₁. Известно, что прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке O, прямые AA₁, BC₁ и CB₁ пересекаются в одной точке O₁ и прямые AC₁, BB₁ и CA₁ пересекаются в одной точке O₂. Докажите, что прямые AB₁, BA₁ и CC₁ тоже пересекаются в одной точке O₃ (теорема о трижды перспективных треугольниках ).

30.31^*.

Даны четырехугольник ABCD и прямая l. Обозначим через P, Q, R точки пересечения прямых AB и CD, AC и BD, BC и AD, а через P₁, Q₁, R₁ - середины отрезков, которые эти пары прямых высекают на прямой l. Докажите, что прямые PP₁, QQ₁ и RR₁ пересекаются в одной точке.

30.32^*.

Даны треугольник ABC и прямая l. Обозначим через A₁, B₁, C₁ середины отрезков, высекаемых на прямой l углами A, B, C, а через A₂, B₂, C₂ - точки пересечения прямых AA₁ и BC, BB₁ и AC, CC₁ и AB. Докажите, что точки A₂, B₂, C₂ лежат на одной прямой.

30.33^*.

Даны четыре точки A, B, C, D. Пусть P, Q, R - точки пересечения прямых AB и CD, AD и BC, AC и BD соответственно; K и L - точки пересечения прямой QR с прямыми AB и CD соответственно. Докажите, что (QRKL) =  – 1 (теорема о полном четырехстороннике .)

30.34^*.

Окружность пересекает прямые BC, CA, AB в точках A₁ и A₂, B₁ и B₂, C₁ и C₂. Пусть l_a - прямая, соединяющая точки пересечения прямых BB₁ и CC₂, BB₂ и CC₁; прямые l_b и l_c определяются аналогично. Докажите, что прямые l_a, l_b и l_c пересекаются в одной точке (или параллельны).

30.35^*.

Можно ли на плоскости окрасить 1991 точку в красный цвет и 1991 точку в синий так, чтобы любая прямая, проходящая через две точки различных цветов, содержала еще одну из окрашенных точек? (Предполагается, что окрашенные точки попарно различны и не лежат на одной прямой.)

Глава 30. § 2  |	Оглавление |	Глава 30. § 4

Copyright © 2002 МЦНМО

Внимание! Данное издание содержит опечатки! Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора. Заказ книги: biblio@mccme.ru.