Глава 3 |	Оглавление |	Глава 3. § 2

§ 1.  Касательные к окружностям

3.1.

Прямые PA и PB касаются окружности с центром O (A и B- точки касания). Проведена третья касательная к окружности, пересекающая отрезки PA и PB в точках X и Y. Докажите, что величина угла XOY не зависит от выбора третьей касательной.

3.2.

Вписанная окружность треугольника ABC касается стороны BC в точке K, а вневписанная- в точке L. Докажите, что CK = BL = (a + b – c)/2, где a,b,c- длины сторон треугольника.

3.3.

На основании AB равнобедренного треугольника ABC взята точка E, и в треугольники ACE и ECB вписаны окружности, касающиеся отрезка CE в точках M и N. Найдите длину отрезка MN, если известны длины отрезков AE и BE.

3.4.

Четырехугольник ABCD обладает тем свойством, что существует окружность, вписанная в угол BAD и касающаяся продолжений сторон BC и CD. Докажите, что AB + BC = AD + DC.

3.5.

Общая внутренняя касательная к окружностям с радиусами R и r пересекает их общие внешние касательные в точках A и B и касается одной из окружностей в точке C. Докажите, что AC · CB = Rr.

Рис. 3.1

3.6^*. К двум окружностям различного радиуса проведены общие внешние касательные AB и CD. Докажите, что четырехугольник ABCD описанный тогда и только тогда, когда окружности касаются.

3.7^*. Дан параллелограмм ABCD. Вне-
вписанная окружность треугольника ABD касается продолжений сторон AD и AB в точках M и N. Докажите, что точки пересечения отрезка MN с BC и CD лежат на вписанной окружности треугольника BCD.

3.8^*. На каждой стороне четырехугольника ABCD взято по две точки, и они соединены так, как показано на рис. 3.1. Докажите, что если все пять заштрихованных четырехугольников описанные, то четырехугольник ABCD тоже описанный.

Глава 3 |	Оглавление |	Глава 3. § 2

Copyright © 2002 МЦНМО

Внимание! Данное издание содержит опечатки! Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора. Заказ книги: biblio@mccme.ru.