Глава 4. § 7  |	Оглавление |	Глава 4. § 9

§ 8.  Вспомогательная площадь

4.46.

Докажите, что сумма расстояний от точки, взятой произвольно внутри правильного треугольника, до его сторон постоянна (и равна высоте треугольника).

4.47.

Докажите, что длина биссектрисы AD треугольника ABC равна 

2bc b + c

cos

a 2

.

4.48.

Внутри треугольника ABC взята точка O; прямые AO,BO и CO пересекают его стороны в точках A₁,B₁ и C₁. Докажите, что:

б) 

AC1 C1B

·

BA1 A1C

·

CB1 B1A

= 1

.

4.49.

Даны (2n – 1)-угольник A₁… A_2n – 1 и точка O. Прямые A_kO и A_{n + k – 1}A_n + k пересекаются в точке B_k. Докажите, что произведение отношений A_{n + k – 1}B_k/A_n + kB_k(k = 1,…,n) равно 1.

4.50.

Дан выпуклый многоугольник A₁A₂… A_n. На стороне A₁A₂ взяты точки B₁ и D₂, на стороне A₂A₃ — точки B₂ и D₃ и т. д. таким образом, что если построить параллелограммы A₁B₁C₁D₁,…,A_nB_nC_nD_n, то прямые A₁C₁,…,A_nC_n пересекутся в одной точке O. Докажите, что A₁B₁ · A₂B₂ · … · A_nB_n  =  A₁D₁ · A₂D₂ · … · A_nD_n.

4.51.

Длины сторон треугольника образуют арифметическую прогрессию. Докажите, что радиус вписанной окружности равен трети одной из высот треугольника.

4.52.

Расстояния от точки X стороны BC треугольника ABC до прямых AB и AC равны d_b и d_c. Докажите, что d_b/d_c = BX · AC/(CX · AB).

4.53^*.

Многоугольник, описанный около окружности радиуса r, разрезан на треугольники (произвольным образом). Докажите, что сумма радиусов вписанных окружностей этих треугольников больше r.

4.54^*.

Через точку M, лежащую внутри параллелограмма ABCD, проведены прямые PR и QS, параллельные сторонам BC и AB (точки P,Q,R и S лежат на сторонах AB,BC,CD и DA соответственно). Докажите, что прямые BS,PD и MC пересекаются в одной точке.

4.55^*.

Докажите, что если никакие стороны четырехугольника не параллельны, то середина отрезка, соединяющего точки пересечения противоположных сторон, лежит на прямой, соединяющей середины диагоналей (прямая Гаусса ).

4.56^*.

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты BB₁ и CC₁ и на сторонах AB и AC взяты точки K и L так, что AK = BC₁ и AL = CB₁. Докажите, что прямая AO, где O- центр описанной окружности треугольника ABC, делит отрезок KL пополам.

4.57^*.

Медианы AA₁ и CC₁ треугольника ABC пересекаются в точке M. Докажите, что если четырехугольник A₁BC₁M описанный, то AB = BC.

4.58^*.

Внутри треугольника ABC взята точка O. Обозначим расстояния от точки O до сторон BC,CA,AB треугольника через d_a,d_b,d_c, а расстояния от точки O до вершин A,B,C через R_a,R_b,R_c. Докажите, что:

б) d_aR_a + d_bR_b + d_cR_c і 2(d_ad_b + d_bd_c + d_cd_a);

в) R_a + R_b + R_c і 2(d_a + d_b + d_c);

г) R_aR_bR_c і (R/2r)(d_a + d_b)(d_b + d_c)(d_c + d_a).

См. также задачи 5.5, 10.6.

Глава 4. § 7  |	Оглавление |	Глава 4. § 9

Copyright © 2002 МЦНМО

Внимание! Данное издание содержит опечатки! Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора. Заказ книги: biblio@mccme.ru.