Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. (4-е изд. — Осторожно! В этом издании немало опечаток!)	МЦНМО, 2002


Глава 4. § 9 \|	Оглавление \|	Глава 4. Решения

Задачи для самостоятельного решения

4.63.: Стороны вписанного четырехугольника ABCD удовлетворяют соотношению AB · BC = AD · DC. Докажите, что площади треугольников ABC и ADC равны.

4.64.: Можно ли двумя прямолинейными разрезами, проходящими через две вершины треугольника, разрезать его на такие четыре части, чтобы три треугольника (из числа этих частей) были равновеликими?

4.65.: Докажите, что все выпуклые четырехугольники, имеющие общие середины сторон, равновелики.

4.66.: Докажите, что если два треугольника, получающихся при продолжении сторон выпуклого четырехугольника до их пересечения, равновелики, то одна из диагоналей делит другую пополам.

4.67.: Площадь треугольника равна S, периметр равен P. Прямые, на которых расположены его стороны, отодвигаются (во внешнюю сторону) на расстояние h. Найдите площадь и периметр треугольника, образованного тремя полученными прямыми.

4.68.: На стороне AB треугольника ABC взяты точки D и E так, что РACD = РDCE = РECB = j. Найдите отношение CD : CE, если известны длины сторон AC и BC и угол j.

4.69.

Пусть AA₁,BB₁ и CC₁- биссектрисы треугольника ABC. Докажите, что

S_A₁B₁C₁/S_ABC = 2abc/((a + b) · (b + c) · (c + a)).

4.70.: Точки M и N являются серединами боковых сторон AB и CD трапеции ABCD. Докажите, что если удвоенная площадь трапеции равна AN · NB + CM · MD, то AB = CD = BC + AD.

4.71.: Если четырехугольник с попарно различными длинами сторон вписан в окружность радиуса R, то существует еще два не равных ему четырехугольника с такими же длинами сторон, вписанных в ту же окружность. Эти четырехугольники имеют не более трех различных длин диагоналей: d₁,d₂ и d₃. Докажите, что площадь четырехугольника равна d₁d₂d₃/4R.

4.72.: На сторонах AB,BC и CA треугольника ABC взяты точки C₁,A₁ и B₁; точки C₂,A₂ и B₂ симметричны этим точкам относительно середин соответствующих сторон. Докажите, что S_A₁B₁C₁ = S_A₂B₂C₂.

4.73.: Внутри треугольника ABC взята точка P. Прямые, проходящие через точку P и вершины треугольника, пересекают стороны в точках A₁,B₁ и C₁. Докажите, что площадь треугольника, образованного серединами отрезков AA₁,BB₁ и CC₁, равна четверти площади треугольника A₁B₁C₁.

Глава 4. § 9 \|	Оглавление \|	Глава 4. Решения

Внимание! Данное издание содержит опечатки!
Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора.
Заказ книги: biblio@mccme.ru.