Глава 4. Решения  |	Оглавление |	Глава 5. § 1

Глава 5.
Треугольники

Основные сведения

1. Вписанной окружностью треугольника называют окружность, касающуюся всех его сторон. Центром вписанной окружности является точка пересечения биссектрис.

Вневписанной окружностью треугольника ABC называют окружность, касающуюся одной стороны треугольника и продолжений двух других его сторон. Для каждого треугольника имеется ровно три вневписанные окружности. Центром вневписанной окружности, касающейся стороны AB, является точка пересечения биссектрисы угла C и биссектрис внешних углов A и B.

Описанной окружностью треугольника называют окружность, проходящую через его вершины. Центром описанной окружности треугольника является точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.

2. Для элементов треугольника ABC часто используются следующие обозначения:

a,b и c — длины сторон BC,CA и AB;

a,b и g- величины углов при вершинах A,B,C;

p — полупериметр;

R — радиус описанной окружности;

r — радиус вписанной окружности;

r_a,r_b и r_c- радиусы вневписанных окружностей, касающихся сторон BC,CA и AB соответственно;

h_a,h_b и h_c- длины высот, опущенных из вершин A,B и C.

3. Если AD — биссектриса угла A треугольника ABC (или биссектриса внешнего угла A), то BD : CD = AB : AC (см. задачу 1.17).

4. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы (см. задачу 5.17).

5. Для доказательства того, что точки пересечения некоторых прямых лежат на одной прямой, часто используется теорема Менелая (задача 5.64).

Для доказательства того, что некоторые прямые пересекаются в одной точке, часто используется теорема Чевы (см. задачу 5.77).

Вводные задачи

1.

а) Докажите, что если в треугольнике медиана совпадает с высотой, то этот треугольник равнобедренный.

2.

Докажите, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

3.

На высоте AH треугольника ABC взята точка M. Докажите, что AB² – AC² = MB² – MC².

4.

На сторонах AB,BC,CA правильного треугольника ABC взяты точки P,Q,R так, что AP : PB = BQ : QC = CR :  RA = 2 : 1. Докажите, что стороны треугольника PQR перпендикулярны сторонам треугольника ABC.

Глава 4. Решения  |	Оглавление |	Глава 5. § 1

Copyright © 2002 МЦНМО

Внимание! Данное издание содержит опечатки! Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора. Заказ книги: biblio@mccme.ru.