Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. (4-е изд. — Осторожно! В этом издании немало опечаток!)	МЦНМО, 2002


Глава 5 \|	Оглавление \|	Глава 5. § 2

§ 1. Вписанная и описанная окружности

5.1.: На сторонах BC,CA и AB треугольника ABC взяты точки A₁,B₁ и C₁, причем AC₁ = AB₁, BA₁ = BC₁ и CA₁ = CB₁. Докажите, что A₁,B₁ и C₁- точки касания вписанной окружности со сторонами.

5.2.: Пусть O_a,O_b и O_c- центры вневписанных окружностей треугольника ABC. Докажите, что точки A,B и C — основания высот треугольника O_aO_bO_c.

5.3.: Докажите, что сторона BC треугольника ABC видна из центра O вписанной окружности под углом 90° + РA/2, а из центра O_a вневписанной окружности под углом 90° – РA/2.

5.4.: Внутри треугольника ABC взята такая точка P, что РPAB : РPAC = РPCA : РPCB = РPBC : РPBA = x. Докажите, что x = 1.

5.5^*.: Пусть A₁,B₁ и C₁- проекции некоторой внутренней точки O треугольника ABC на высоты. Докажите, что если длины отрезков AA₁,BB₁ и CC₁ равны, то они равны 2r.

5.6^*.: Угол величиной a = РBAC вращается вокруг своей вершины O — середины основания AC равнобедренного треугольника ABC. Стороны этого угла пересекают отрезки AB и BC в точках P и Q. Докажите, что периметр треугольника PBQ остается постоянным.

5.7^*.: В неравнобедренном треугольнике ABC через середину M стороны BC и центр O вписанной окружности проведена прямая MO, пересекающая высоту AH в точке E. Докажите, что AE = r.

5.8^*.: Окружность касается сторон угла с вершиной A в точках P и Q. Расстояния от точек P,Q и A до некоторой касательной к этой окружности равны u,v и w. Докажите, что uv/w² = sin ²(A/2).

5.9^*.: а) На стороне AB треугольника ABC взята точка P. Пусть r, r₁ и r₂ - радиусы вписанных окружностей треугольников ABC, BCP и ACP; h - высота, опущенная из вершины C. Докажите, что r = r₁ + r₂ – 2r₁r₂/h.

б) Точки A₁, A₂, A₃, … лежат на одной прямой (в указанном порядке). Докажите, что если радиусы вписанных окружностей всех треугольников BA_iA_i + 1 равны одному и тому же числу r₁, то радиусы вписанных окружностей всех треугольников BA_iA_i + k равны одному и тому же числу r_k.

* * *

5.10.: Докажите, что точки, симметричные точке пересечения высот треугольника ABC относительно его сторон, лежат на описанной окружности.

5.11.

Из точки P дуги BC описанной окружности треугольника ABC опущены перпендикуляры PX,PY и PZ на BC,CA и AB соответственно. Докажите, что

* * *

5.12^*.: Пусть O — центр описанной окружности треугольника ABC, I — центр вписанной окружности, I_a — центр вневписанной окружности, касающейся стороны BC. Докажите, что:

а) d² = R² – 2Rr, где d = OI;

б) d_a² = R² + 2Rr_a где d_a = OI_a.

5.13^*.

Продолжения биссектрис углов треугольника ABC пересекают описанную окружность в точках A₁,B₁ и C₁; M — точка пересечения биссектрис. Докажите, что:

MA · MC

MB₁

= 2r; б)

MA₁ · MC₁

= R.

5.14^*.: Длины сторон треугольника ABC образуют арифметическую прогрессию, причем a < b < c. Биссектриса угла B пересекает описанную окружность в точке B₁. Докажите, что центр O вписанной окружности делит отрезок BB₁ пополам.

5.15^*.: В треугольнике ABC сторона BC наименьшая. На лучах BA и CA отложены отрезки BD и CE, равные BC. Докажите, что радиус описанной окружности треугольника ADE равен расстоянию между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника ABC.

Глава 5 \|	Оглавление \|	Глава 5. § 2

Внимание! Данное издание содержит опечатки!
Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора.
Заказ книги: biblio@mccme.ru.