Глава 5. § 9  |	Оглавление |	Глава 5. § 11

§ 10.  Подерный треугольник

Пусть A₁,B₁ и C₁- основания перпендикуляров, опущенных из точки P на прямые BC,CA и AB. Треугольник A₁B₁C₁ называют подерным (или педальным) треугольником точки P относительно треугольника ABC.

5.110.

Пусть A₁B₁C₁- подерный треугольник точки P относительно треугольника ABC. Докажите, что B₁C₁ = BC · AP/2R, где R- радиус описанной окружности треугольника ABC.

5.111^*.

Прямые AP,BP и CP пересекают описанную окружность треугольника ABC в точках A₂,B₂ и C₂;  A₁B₁C₁- подерный треугольник точки P относительно треугольника ABC. Докажите, что DA₁B₁C₁ ~ D A₂B₂C₂.

5.112^*.

Внутри остроугольного треугольника ABC дана точка P. Опустив из нее перпендикуляры PA₁,PB₁ и PC₁ на стороны, получим DA₁B₁C₁. Проделав для него ту же операцию, получим DA₂B₂C₂, а затем DA₃B₃C₃. Докажите, что DA₃B₃C₃ ~ DABC.

5.113^*.

Треугольник ABC вписан в окружность радиуса R с центром O. Докажите, что площадь подерного треугольника точки P относительно треугольника ABC равна 

1 4

к к

1 –

d2 R2

к к

SABC

, где d = PO.

5.114^*.

Из точки P опущены перпендикуляры PA₁,PB₁ и PC₁ на стороны треугольника ABC. Прямая l_a соединяет середины отрезков PA и B₁C₁. Аналогично определяются прямые l_b и l_c. Докажите, что эти прямые пересекаются в одной точке.

5.115^*.

а) Точки P₁ и P₂ изогонально сопряжены относительно треугольника ABC. Докажите, что их подерные треугольники имеют общую описанную окружность, причем ее центром является середина отрезка P₁P₂.

См. также задачи 5.146, 5.147, 14.19 б).

Глава 5. § 9  |	Оглавление |	Глава 5. § 11

Copyright © 2002 МЦНМО

Внимание! Данное издание содержит опечатки! Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора. Заказ книги: biblio@mccme.ru.