Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. (4-е изд. — Осторожно! В этом издании немало опечаток!)	МЦНМО, 2002


Глава 5. § 10 \|	Оглавление \|	Глава 5. § 12

§ 11. Прямая Эйлера и окружность девяти точек

5.116^*.: Пусть H- точка пересечения высот треугольника ABC, O- центр описанной окружности, M- точка пересечения медиан. Докажите, что точка M лежит на отрезке OH, причем OM : MH = 1 : 2. (Прямую, содержащую точки O,M и H, называют прямой Эйлера.).

5.117^*.: Докажите, что середины сторон треугольника, основания высот и середины отрезков, соединяющих точку пересечения высот с вершинами, лежат на одной окружности (окружности девяти точек), причем центром этой окружности является середина отрезка OH.

5.118^*.: Высоты треугольника ABC пересекаются в точке H.

а) Докажите, что треугольники ABC,HBC,AHC и ABH имеют общую окружность девяти точек.

б) Докажите, что прямые Эйлера треугольников ABC,HBC,AHC и ABH пересекаются в одной точке.

в) Докажите, что центры описанных окружностей треугольников ABC, HBC, AHC и ABH образуют четырехугольник, симметричный четырехугольнику HABC.

5.119^*.: Какие стороны пересекает прямая Эйлера в остроугольном и тупоугольном треугольниках?

5.120^*.: а) Докажите, что описанная окружность треугольника ABC является окружностью девяти точек для треугольника, образованного центрами вневписанных окружностей треугольника ABC.

б) Докажите, что описанная окружность делит пополам отрезок, соединяющий центры вписанной и вневписанной окружностей.

5.121^*.: Докажите, что прямая Эйлера треугольника ABC параллельна стороне BC тогда и только тогда, когда tg Btg C = 3.

5.122^*.: Докажите, что отрезок, высекаемый на стороне AB остроугольного треугольника ABC окружностью девяти точек, виден из ее центра под углом 2|РA – РB|.

5.123^*.: Докажите, что если прямая Эйлера проходит через центр вписанной окружности треугольника, то треугольник равнобедренный.

5.124^*.: Вписанная окружность касается сторон треугольника ABC в точках A₁,B₁ и C₁. Докажите, что прямая Эйлера треугольника A₁B₁C₁ проходит через центр описанной окружности треугольника ABC.

5.125^*.: В треугольнике ABC проведены высоты AA₁,BB₁ и CC₁. Пусть A₁A₂,B₁B₂ и C₁C₂- диаметры окружности девяти точек треугольника ABC. Докажите, что прямые AA₂,BB₂ и CC₂ пересекаются в одной точке (или параллельны).

См. также задачи 3.66 а), 13.34 б).

Глава 5. § 10 \|	Оглавление \|	Глава 5. § 12

Внимание! Данное издание содержит опечатки!
Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора.
Заказ книги: biblio@mccme.ru.