Глава 5. § 1  |	Оглавление |	Глава 5. § 3

§ 2.  Прямоугольные треугольники

5.16.

В треугольнике ABC угол C прямой. Докажите, что r = (a + b – c)/2 и r_c = (a + b + c)/2.

5.17.

Пусть M — середина стороны AB треугольника ABC. Докажите, что CM = AB/2 тогда и только тогда, когда РACB = 90°.

5.18.

Дана трапеция ABCD с основанием AD. Биссектрисы внешних углов при вершинах A и B пересекаются в точке P, а при вершинах C и D — в точке Q. Докажите, что длина отрезка PQ равна половине периметра трапеции.

5.19.

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC проведена биссектриса CD. Прямая, проходящая через точку D перпендикулярно DC, пересекает AC в точке E. Докажите, что EC = 2AD.

5.20.

На медиане BM и на биссектрисе BK треугольника ABC (или на их продолжениях) взяты точки D и E так, что DK ||AB и EM||BC. Докажите, что ED^BK.

5.21.

Сумма углов при основании трапеции равна 90°. Докажите, что отрезок, соединяющий середины оснований, равен полуразности оснований.

5.22.

В прямоугольном треугольнике ABC проведена высота CK из вершины прямого угла C, а в треугольнике ACK — биссектриса CE. Докажите, что CB = BE.

5.23.

В треугольнике ABC с прямым углом C проведены высота CD и биссектриса CF;  DK и DL — биссектрисы треугольников BDC и ADC. Докажите, что CLFK — квадрат.

5.24^*.

На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC внешним образом построен квадрат ABPQ. Пусть a  = РACQ,b  = РQCP и g  = РPCB. Докажите, что cos b  = cos acos g.

Глава 5. § 1  |	Оглавление |	Глава 5. § 3

Copyright © 2002 МЦНМО

Внимание! Данное издание содержит опечатки! Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора. Заказ книги: biblio@mccme.ru.