Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. (4-е изд. — Осторожно! В этом издании немало опечаток!)	МЦНМО, 2002


Глава 5. § 2 \|	Оглавление \|	Глава 5. § 4

§ 3. Правильный треугольник

5.25.: Из точки M, лежащей внутри правильного треугольника ABC, опущены перпендикуляры MP,MQ и MR на стороны AB,BC и CA соответственно. Докажите, что AP² + BQ² + CR² = PB² + QC² + RA² и AP + BQ + CR = PB + QC + RA.

5.26.: Точки D и E делят стороны AC и AB правильного треугольника ABC в отношениях AD : DC = BE : EA = 1 : 2. Прямые BD и CE пересекаются в точке O. Докажите, что РAOC = 90°.

* * *

5.27.: Окружность делит каждую из сторон треугольника на три равные части. Докажите, что этот треугольник правильный.

5.28.: Докажите, что если точка пересечения высот остроугольного треугольника делит высоты в одном и том же отношении, то треугольник правильный.

5.29.: а) Докажите, что если a + h_a = b + h_b = c + h_c, то треугольник ABC правильный.

б) В треугольник ABC вписаны три квадрата: у одного две вершины лежат на стороне AC, у другого- на BC, у третьего- на AB. Докажите, что если все три квадрата равны, то треугольник ABC правильный.

5.30.: В треугольник ABC вписана окружность, касающаяся его сторон в точках A₁,B₁,C₁. Докажите, что если треугольники ABC и A₁B₁C₁ подобны, то треугольник ABC правильный.

5.31.: Радиус вписанной окружности треугольника равен 1, длины высот- целые числа. Докажите, что треугольник правильный.

См. также задачи 2.18, 2.37, 2.45, 2.55, 4.46, 5.59, 7.45, 10.3, 10.77, 11.3, 11.5, 16.7, 18.10, 18.13, 18.16, 18.18-18.21, 18.24, 18.40, 24.1.

Глава 5. § 2 \|	Оглавление \|	Глава 5. § 4

Внимание! Данное издание содержит опечатки!
Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора.
Заказ книги: biblio@mccme.ru.