Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. (4-е изд. — Осторожно! В этом издании немало опечаток!)	МЦНМО, 2002


Глава 5. § 4 \|	Оглавление \|	Глава 5. § 6

§ 5. Целочисленные треугольники

5.38.: Длины сторон треугольника- последовательные целые числа. Найдите эти числа, если известно, что одна из медиан перпендикулярна одной из биссектрис.

5.39.: Длины всех сторон прямоугольного треугольника являются целыми числами, причем наибольший общий делитель этих чисел равен 1. Докажите, что его катеты равны 2mn и m² – n², а гипотенуза равна m² + n², где m и n- натуральные числа.

Прямоугольный треугольник, длины сторон которого целые числа, называют пифагоровым .

5.40^*.: Радиус вписанной окружности треугольника равен 1, а длины его сторон- целые числа. Докажите, что эти числа равны 3,4,5.

5.41^*.: Приведите пример вписанного четырехугольника с попарно различными целочисленными длинами сторон, у которого длины диагоналей, площадь и радиус описанной окружности- целые числа (Брахмагупта).

5.42^*.: а) Укажите два прямоугольных треугольника, из которых можно сложить треугольник, длины сторон и площадь которого- целые числа.

б) Докажите, что если площадь треугольника- целое число, а длины сторон- последовательные натуральные числа, то этот треугольник можно сложить из двух прямоугольных треугольников с целочисленными сторонами.

5.43^*.: а) В треугольнике ABC, длины сторон которого рациональные числа, проведена высота BB₁. Докажите, что длины отрезков AB₁ и CB₁- рациональные числа.

б) Длины сторон и диагоналей выпуклого четырехугольника- рациональные числа. Докажите, что диагонали разрезают его на четыре треугольника, длины сторон которых - рациональные числа.

См. также задачу 26.7.

Глава 5. § 4 \|	Оглавление \|	Глава 5. § 6

Внимание! Данное издание содержит опечатки!
Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора.
Заказ книги: biblio@mccme.ru.