Глава 5. § 8  |	Оглавление |	Глава 5. § 10

§ 9.  Прямая Симсона

5.95^*.

а) Докажите, что основания перпендикуляров, опущенных из точки P описанной окружности треугольника на его стороны или их продолжения, лежат на одной прямой (прямая Симсона ).

5.96^*.

Точки A,B и C лежат на одной прямой, точка P- вне этой прямой. Докажите, что центры описанных окружностей треугольников ABP,BCP,ACP и точка P лежат на одной окружности.

5.97^*.

В треугольнике ABC проведена биссектриса AD и из точки D опущены перпендикуляры DBў и DCў на прямые AC и AB; точка M лежит на прямой BўCў, причем DM^BC. Докажите, что точка M лежит на медиане AA₁.

5.98^*.

а) Из точки P описанной окружности треугольника ABC проведены прямые PA₁,PB₁ и PC₁ под данным (ориентированным) углом a к прямым BC,CA и AB соответственно (точки A₁,B₁ и C₁ лежат на прямых BC,CA и AB). Докажите, что точки A₁,B₁ и C₁ лежат на одной прямой.

5.99^*.

а) Из точки P описанной окружности треугольника ABC опущены перпендикуляры PA₁ и PB₁ на прямые BC и AC. Докажите, что PA · PA₁ = 2Rd, где R- радиус описанной окружности,  d- расстояние от точки P до прямой A₁B₁.

5.100^*.

Пусть A₁ и B₁- проекции точки P описанной окружности треугольника ABC на прямые BC и AC. Докажите, что длина отрезка A₁B₁ равна длине проекции отрезка AB на прямую A₁B₁.

5.101^*.

На окружности фиксированы точки P и C; точки A и B перемещаются по окружности так, что угол ACB остается постоянным. Докажите, что прямые Симсона точки P относительно треугольников ABC касаются фиксированной окружности.

5.102^*.

Точка P движется по описанной окружности треугольника ABC. Докажите, что при этом прямая Симсона точки P относительно треугольника ABC поворачивается на угол, равный половине угловой величины дуги, пройденной точкой P.

5.103^*.

Докажите, что прямые Симсона двух диаметрально противоположных точек описанной окружности треугольника ABC перпендикулярны, а их точка пересечения лежит на окружности девяти точек (см. задачу 5.117).

5.104^*.

Точки A,B,C,P и Q лежат на окружности с центром O, причем углы между вектором 

® OP

и векторами 

® OA

,

® OB

,

® OC

и 

® OQ

равны a,b,g и (a + b + g)/2. Докажите. что прямая Симсона точки P относительно треугольника ABC параллельна OQ.

5.105^*.

Точки A, B, C и P лежат на окружности с центром O. Стороны треугольника A₁B₁C₁ параллельны прямым PA, PB, PC (PA|| B₁C₁ и т. д.). Через вершины треугольника A₁B₁C₁ проведены прямые, параллельные сторонам треугольника ABC.

б) Докажите, что прямая Симсона точки P₁ параллельна прямой OP.

5.106^*.

Хорда PQ описанной окружности треугольника ABC перпендикулярна стороне BC. Докажите, что прямая Симсона точки P относительно треугольника ABC параллельна прямой AQ.

5.107^*.

Высоты треугольника ABC пересекаются в точке H;  P- точка его описанной окружности. Докажите, что прямая Симсона точки P относительно треугольника ABC делит отрезок PH пополам.

5.108^*.

Четырехугольник ABCD вписан в окружность;  l_a- прямая Симсона точки A относительно треугольника BCD, прямые l_b,l_c и l_d определяются аналогично. Докажите, что эти прямые пересекаются в одной точке.

5.109^*.

а) Докажите, что проекции точки P описанной окружности четырехугольника ABCD на прямые Симсона треугольников BCD,CDA,DAB и BAC лежат на одной прямой (прямая Симсона вписанного четырехугольника).

См. также задачи 5.11, 5.65.

Глава 5. § 8  |	Оглавление |	Глава 5. § 10

Copyright © 2002 МЦНМО

Внимание! Данное издание содержит опечатки! Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора. Заказ книги: biblio@mccme.ru.